8 Considere um escoamento bidimensional, incompressível em coordenadas cilíndricas; a componente tangencial da velocidade é
, onde K é uma constante. Isso representa uma classe de escoamentos turbilhonares. Determine uma expressão para a outra componente de velocidade,
.
Passo 1
O enunciado trata de um escoamento bidimensional incompressível descrito em coordenadas cilíndricas
. Já conhecemos a componente tangencial da velocidade
e precisamos encontrar a componente radial
usando a condição de incompressibilidade.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas 2D a equação de continuidade (divergência nula do campo de velocidades) é
Passo 3
Substituindo
, que não depende de
, temos
. Logo a continuidade reduz-se a
Passo 4
Integrando em relação a
, obtemos
onde
é uma “constante” de integração que, em geral, pode depender de
. Portanto
Passo 5
Se o escoamento for também axisimétrico (sem variação em
) então
constante. Além disso, para não gerar singularidade física em
e não admitir fonte ou sumidouro de massa, costuma-se tomar essa constante nula. Assim, no caso axisimétrico e regular,
Resposta
e, sob hipótese de axisimetria e ausência de fontes,
, isto é,
.