8 Considere um escoamento bidimensional, incompressível em coordenadas cilíndricas; a componente tangencial da velocidade é u_{\theta}=K / r, onde K é uma constante. Isso representa uma classe de escoamentos turbilhonares. Determine uma expressão para a outra componente de velocidade, u_{r}.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento bidimensional incompressível descrito em coordenadas cilíndricas (r,\theta). Já conhecemos a componente tangencial da velocidade
\;u_{\theta}=\frac{K}{r},
e precisamos encontrar a componente radial u_{r} usando a condição de incompressibilidade.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas 2D a equação de continuidade (divergência nula do campo de velocidades) é
\frac{1}{r}\,\frac{\partial\bigl(r\,u_{r}\bigr)}{\partial r} \;+\; \frac{1}{r}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} \;=\;0.

Passo 3

Substituindo u_{\theta}=\tfrac{K}{r}, que não depende de \theta, temos \partial u_{\theta}/\partial \theta=0. Logo a continuidade reduz-se a
\frac{1}{r}\,\frac{\partial\bigl(r\,u_{r}\bigr)}{\partial r}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial\bigl(r\,u_{r}\bigr)}{\partial r}=0.

Passo 4

Integrando em relação a r, obtemos
r\,u_{r}=F(\theta),
onde F(\theta) é uma “constante” de integração que, em geral, pode depender de \theta. Portanto
u_{r}=\frac{F(\theta)}{r}.

Passo 5

Se o escoamento for também axisimétrico (sem variação em \theta) então F(\theta)= constante. Além disso, para não gerar singularidade física em r=0 e não admitir fonte ou sumidouro de massa, costuma-se tomar essa constante nula. Assim, no caso axisimétrico e regular,
u_{r}=0.

Resposta

u_{r}=\frac{F(\theta)}{r},
e, sob hipótese de axisimetria e ausência de fontes, F(\theta)=0, isto é, u_{r}=0.

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