5.10 Encontre o volume do sólido definido pelas desigualdades
e
. Esboce o gráfico deste sólido.
Passo 1
Temos um sólido definido pelas desigualdades
e
. O conteúdo aqui é cálculo de volume de um sólido em coordenadas cilíndricas, e vamos precisar usar a transformação
,
e
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas,
, então
vira
. A outra condição é
. Para cada
fixo, a seção é um disco de raio
. Montamos a integral de volume:
Passo 3
Primeiro integramos em
:
Então a integral vira
Como
é par,
Logo
Passo 4
O sólido tem formato de “duplo paraboloide” invertido: cada seção em altura
é um disco de raio
. Em
o disco degenera em ponto e o raio cresce até 1 em
, formando um esboço parecido com uma ampulheta de paredes curvas.