5.10 Encontre o volume do sólido definido pelas desigualdades x^2+y^2 <= z^4 e z^2 <= 1. Esboce o gráfico deste sólido.

Passo 1

Temos um sólido definido pelas desigualdades x^2 + y^2 <= z^4 e z^2 <= 1. O conteúdo aqui é cálculo de volume de um sólido em coordenadas cilíndricas, e vamos precisar usar a transformação x = rcostheta, y = rsintheta e dV = r,dr,dtheta,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, x^2 + y^2 = r^2, então r^2 <= z^4 vira 0 <= r <= |z|^2. A outra condição é -1 <= z <= 1. Para cada z fixo, a seção é um disco de raio |z|^2. Montamos a integral de volume:
V = integralz=-1^1 integraltheta=0^2pi integralr=0^|z|^2 r ,dr,dtheta,dz

Passo 3

Primeiro integramos em r:
integral0^|z|^2 r ,dr = [r^22]0^|z|^2 = |z|^42 = z^42
Então a integral vira
V = integral-1^1 integral0^2pi z^42 ,dtheta,dz = integral-1^1 z^42 cdot 2pi ,dz = pi integral-1^1 z^4 ,dz
Como z^4 é par,
integral-1^1 z^4 ,dz = 2 integral0^1 z^4 ,dz = 2 [z^55]0^1 = 25
Logo
V = pi cdot 25 = 2pi5

Passo 4

O sólido tem formato de “duplo paraboloide” invertido: cada seção em altura z é um disco de raio |z|^2. Em z=0 o disco degenera em ponto e o raio cresce até 1 em z=pm1, formando um esboço parecido com uma ampulheta de paredes curvas.

Resposta

2pi5

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