Calcular as integrais seguintes :
integral1^2 1+2 x1+(x^2+x+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 1 a 2 de 1+2x1+(x^2+x+1)^2,dx. O assunto é técnicas de substituição em integrais e aplicação da primitiva de 1/(1+u^2).

Passo 2

Observamos que a derivada de (x^2+x+1) é (2x+1), que corresponde exatamente ao numerador. Definimos u = x^2 + x + 1 e, portanto, du = (2x+1),dx.

Passo 3

Para os limites de integração, quando x=1 temos u(1)=1^2+1+1=3 e quando x=2 temos u(2)=2^2+2+1=7. Assim, a integral passa a ser
integral1^2 1+2x1+(x^2+x+1)^2,dx = integral3^7 du1+u^2

Passo 4

A primitiva de 1/(1+u^2) é arctan(u). Logo, a integral definida corresponde à diferença dessa primitiva avaliada entre 3 e 7, ou seja, arctan(7) - arctan(3).

Resposta

arctan(7) - arctan(3)

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