Calcular as integrais seguintes :
integral0^1 2 x+1(x^2+x+1)^3 d x

Passo 1

Estamos calculando a integral definida de 0 a 1 de 2x+1(x^2+x+1)^3 d x. O conteúdo é integração por substituição, pois o numerador é a derivada exata do denominador. Vamos usar isso para simplificar.

Passo 2

Definimos a substituição u = x^2 + x + 1. Então a derivada de u em relação a x é dada por
du = (2x + 1),dx
Com isso, o integrando 2x+1(x^2+x+1)^3dx fica simplesmente u^-3du. Precisamos também trocar os limites: quando x=0, temos u(0)=1; quando x=1, temos u(1)=3.

Passo 3

A integral em u torna-se
integral0^1 2x+1(x^2+x+1)^3dx = integral1^3 u^-3,du

Passo 4

Agora integramos u^-3. Lembrando que integral u^ndu = u^n+1n+1 para nneq -1, temos
integral u^-3du = u^-2-2 = -12u^-2

Passo 5

Por fim, avaliamos de 1 a 3:
-12u^-2|1^3 = -12l(3^-2 - 1^-2r) = -12l(19 - 1r) = 12l(1 - 19r) = 12cdot89 = 49

Resposta

49

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