Calcular as integrais seguintes :
integral0^1 2 x+1(x^2+x+1) d x

Passo 1

No exercício, queremos calcular a integral definida de 0 a 1 da função 2x+1x^2+x+1. O tema é integração de funções racionais e vamos usar a técnica de substituição, observando que a derivada do denominador coincide com o numerador.

Passo 2

Calcular a derivada do denominador x^2+x+1. Temos ddx(x^2+x+1)=2x+1, que é exatamente o numerador. Assim, fazemos a substituição u=x^2+x+1 e du=(2x+1),dx.

Passo 3

Reescrever a integral em termos de u. Para x=0, u=1. Para x=1, u=3. Logo, a integral fica:
integral0^12x+1x^2+x+1,dx=integral1^3duu

Passo 4

Integrar e avaliar nos novos limites. A integral de 1/u é ln|u|. Então:
integral1^3duu=[ln|u|]1^3=ln3-ln1
Como ln1=0, o resultado é ln3.

Resposta

ln3

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