10 Esboce o gránco da tunçāo a seguir e use-o para determinar os valores de a para os quais lim x a f(x) existe:
f(x)= 2-x & se x<-1 x & se -1 <= x<1 (x-1)^2 & se x >= 1

Passo 1

O enunciado apresenta a função pedaço-a-pedaço
f(x)= 2 - x, & x < -1, x, & -1 <= x < 1, (x-1)^2, & x >= 1,
pede para esboçar o gráfico e, a partir dele, decidir para quais valores de a existe limxto af(x). Como cada ramo é uma função contínua em sua região, o único possível problema são os pontos de “troca” de regra: x=-1 e x=1.

Passo 2

Descrevendo o esboço do gráfico:
  1. Para x<-1, temos a reta de equação y=2-x. Em x=-1 seu valor seria 2-(-1)=3, mas como esse ramo não inclui -1, colocamos um círculo aberto em (-1,3).
  2. Para -1<= x<1, temos a reta y=x. Em x=-1 ela vale -1 e inclui esse ponto, então há um círculo fechado em (-1,-1). Em x=1 valeria 1, mas como o intervalo é aberto em 1, há um círculo aberto em (1,1).
  3. Para x>=1, temos a parábola y=(x-1)^2. Em x=1 ela vale 0 e esse ponto é incluído, logo um círculo fechado em (1,0). Depois, o gráfico cresce como uma parábola a partir desse ponto.

Passo 3

Em qualquer ponto interior de cada ramo (ou seja, a<-1, -1<a<1 ou a>1), a função é contínua, logo
limxto af(x)=f(a)
e existe.

Passo 4

No ponto a=-1:
  • Limite pela esquerda:
    limxto -1^-(2-x)=2-(-1)=3
  • Limite pela direita:
    limxto -1^+x=-1
Como 3neq -1, o limite em a=-1 não existe.

Passo 5

No ponto a=1:
  • Limite pela esquerda:
    limxto 1^-x=1
  • Limite pela direita:
    limxto 1^+(x-1)^2=0
Como 1neq0, o limite em a=1 não existe.

Resposta

O limite limxto af(x) existe para todo ainR exceto em a=-1 e a=1.

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