Determine os valores máximo e mínimo, bem como os pontos de máximo e mínimo, se existirem, das seguintes funções nos conjuntos indicados: no conjunto
Passo 1
O enunciado pede extremos de
no domínio .
O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis sem restrição: vamos achar pontos críticos via gradiente e usar a matriz Hessiana para classificar.
Passo 2
Calculamos o gradiente de :
Para pontos críticos, impomos , o que dá
A matriz Hessiana é
que é definida positiva. Logo, (1,1) é ponto de mínimo local e, por convexidade de f, também o mínimo global.
Passo 3
Avaliamo f em (1,1):
f(1,1)=(1-1)^2+(1-1)^2+3=3
Como (x-1)^2+(y-1)^2to+infty quando |(x,y)|toinfty, f não tem valor máximo em R^2.
Resposta
O valor mínimo de f é 3, atingido em (1,1).
Não existe valor máximo de f em A=R^2.