Determine os valores máximo e mínimo, bem como os pontos de máximo e mínimo, se existirem, das seguintes funções nos conjuntos indicados:
f(x, y)=(x-1)^2+(y-1)^2+3 no conjunto A=R^2

Passo 1

O enunciado pede extremos de
f(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2+3
no domínio A=R^2.
O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis sem restrição: vamos achar pontos críticos via gradiente e usar a matriz Hessiana para classificar.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y) =l(partial fpartial x,partial fpartial yr) =(2(x-1),,2(y-1))
Para pontos críticos, impomos nabla f(x,y)= (0,0), o que dá
2(x-1)=0, 2(y-1)=0 Longrightarrow (x,y)=(1,1)
A matriz Hessiana é
Hf(x,y) = 2 & 0 0 & 2 ,
que é definida positiva. Logo, (1,1) é ponto de mínimo local e, por convexidade de f, também o mínimo global.

Passo 3

Avaliamo f em (1,1):
f(1,1)=(1-1)^2+(1-1)^2+3=3
Como (x-1)^2+(y-1)^2to+infty quando |(x,y)|toinfty, f não tem valor máximo em R^2.

Resposta

O valor mínimo de f é 3, atingido em (1,1).
Não existe valor máximo de f em A=R^2.

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