1. Seja f:[0,1] R uma função contínua tal que f(0)=1 e que f(x) é racional para todo x in[0,1]. Mostre que a função f é constante igual a 1 .

Passo 1

O enunciado diz que f:[0,1]toR é contínua, que f(0)=1 e que para todo xin[0,1] temos f(x)inQ. Queremos mostrar que necessariamente
f(x)=1para todo xin[0,1]
Para isso vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que garante que uma função contínua atinge todos os valores entre f(a) e f(b).

Passo 2

Suponha, por contradição, que exista algum cin(0,1] tal que
f(c)neq 1
Defina v = f(c). Existem dois casos:
– Se v>1, então por TVI a imagem de f no intervalo [0,c] contém todo valor em [1,v].
– Se v<1, então por TVI a imagem de f no intervalo [0,c] contém todo valor em [v,1].
Em qualquer um dos casos, existe um número t estritamente entre 1 e v (ou entre v e 1).

Passo 3

Como os números irracionais são densos em R, podemos escolher t irracional tal que
tinl(min1,v,,max1,vr)
Pelo TVI, existe x0 no respectivo subintervalo em que
f(x0)=t
Mas isso contradiz a hipótese de que f(x0) deve ser sempre racional.

Passo 4

A contradição mostra que não pode haver ponto c com f(c)neq1. Logo,
f(x)=1para todo xin[0,1]

Resposta

A função f é constante e vale 1 em todo o intervalo, isto é,
f(x)=1, xin[0,1]

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