- Seja
uma função contínua tal que
e que
é racional para todo
. Mostre que a função
é constante igual a 1 .
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua, que
e que para todo
temos
. Queremos mostrar que necessariamente
Para isso vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que garante que uma função contínua atinge todos os valores entre
e
.
Passo 2
Suponha, por contradição, que exista algum
tal que
Defina
. Existem dois casos:
– Se
, então por TVI a imagem de
no intervalo
contém todo valor em
.
– Se
, então por TVI a imagem de
no intervalo
contém todo valor em
.
Em qualquer um dos casos, existe um número
estritamente entre
e
(ou entre
e
).
Passo 3
Como os números irracionais são densos em
, podemos escolher
irracional tal que
Pelo TVI, existe
no respectivo subintervalo em que
Mas isso contradiz a hipótese de que
deve ser sempre racional.
Passo 4
A contradição mostra que não pode haver ponto
com
. Logo,
Resposta
A função
é constante e vale
em todo o intervalo, isto é,