Mostre que a hipótese de continuidade das funções no Teorema do anulamento é essencial. (ou seja, apresente uma função que seja descontínua em um ponto e que não satisfaz a tese do teorema.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no Teorema do Anulamento (ou Teorema do Valor Intermediário), a hipótese de continuidade em todo o intervalo é essencial. Em outras palavras, devemos exibir uma função que não seja contínua em algum ponto, que satisfaça f(a)f(b)<0 e, mesmo assim, não tenha nenhum zero em (a,b).

Passo 2

Lembremos o Teorema do Anulamento:
Se f é contínua em [a,b] e f(a),f(b)<0, então existe cin(a,b) com f(c)=0 éíã
A continuidade em todo o intervalo [a,b] é, portanto, parte fundamental da hipótese.

Passo 3

Vamos definir a função
fcolon[-1,1]toR, f(x)= -1, & x<0, 1, & x>=0
Essa é claramente descontínua em x=0, pois há um salto de -1 para 1.

Passo 4

Calculamos os valores nos extremos:
f(-1) = -1 < 0, f(1) = 1 > 0,
logo f(-1),f(1) = -1<0.

Passo 5

Entretanto, não existe ponto cin(-1,1) tal que f(c)=0, pois f(x) só assume os valores -1 e 1.

Passo 6

Concluímos que, apesar de f(-1),f(1)<0, não há raiz em (-1,1). O motivo é justamente a falta de continuidade em x=0. Assim, fica evidente que a hipótese de continuidade do Teorema do Anulamento não pode ser dispensada.

Resposta

A função
f(x)= -1, & x<0, 1, & x>=0
no intervalo [-1,1] é descontínua em 0, satisfaz f(-1),f(1)<0 e não tem zero em (-1,1), mostrando que a continuidade é essencial.

Exercícios relacionados