4.10 Exercício. Encontre uma equação paramétrica para a reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-2) e é ortogonal ao plano
pi:l x=1+t-s y=-t+s z=1+t+s
Encontre a projeção ortogonal barA do ponto A no plano pi.

Passo 1

O enunciado pede a equação paramétrica da reta
e em seguida a projeção ortogonal sobre . Para isso vamos:
  1. extrair dois vetores diretores de ;
  2. calcular o vetor normal via produto vetorial;
  3. usar para montar a reta que passa por ;
  4. encontrar o ponto de interseção dessa reta com , que é .

Passo 2

Os parâmetros t e s geram no plano os vetores diretores
v1 = partial (x,y,z)partial t = (1,,-1,,1), v2 = partial (x,y,z)partial s = (-1,,1,,1)
O vetor normal n ao plano é o produto vetorial
n = v1 times v2 = l((-1)cdot1 - 1cdot1,; -l(1cdot1 - 1cdot(-1)r),;1cdot1 - (-1)cdot(-1)r) = (-2,,-2,,0)
Podemos usar a forma simplificada n=(1,1,0), pois é proporcional a (-2,-2,0).

Passo 3

Como r é ortogonal a pi e passa por A, sua equação vetorial é
r(lambda) = (3,4,-2) + lambda,(1,1,0)
Em coordenadas paramétricas:
x = 3 + lambda, y = 4 + lambda, z = -2

Passo 4

A projeção
Da soma das duas primeiras equações obtemos
Substituindo em
(da terceira equação (1+t+s=-2]), resolvemos

Logo a projeção é

Resposta

A equação paramétrica de
e a projeção ortogonal de é .

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