4.10 Exercício. Encontre uma equação paramétrica para a reta
que passa pelo ponto
e é ortogonal ao plano
Encontre a projeção ortogonal
barA do ponto
A no plano
pi .
Passo 1
O enunciado pede a equação paramétrica da reta
e em seguida a projeção ortogonal sobre
. Para isso vamos:
- extrair dois vetores diretores de
; - calcular o vetor normal
via produto vetorial; - usar
para montar a reta que passa por ; - encontrar o ponto de interseção dessa reta com
, que é .
Passo 2
Os parâmetros
t e
s geram no plano os vetores diretores
O vetor normal
n ao plano é o produto vetorial
Podemos usar a forma simplificada
n=(1,1,0) , pois é proporcional a
(-2,-2,0) .
Passo 3
Como
r é ortogonal a
pi e passa por
A , sua equação vetorial é
Em coordenadas paramétricas:
Passo 4
A projeção
Da soma das duas primeiras equações obtemos
Substituindo em
(da terceira equação (1+t+s=-2]), resolvemos
Logo a projeção é
Logo a projeção é
Resposta
A equação paramétrica de
e a projeção ortogonal de é
.