Determinar o número de soluções de cada uma das seguintes congruências lineares:
4 x equiv 8(bmod 15);

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções da congruência linear
4x equiv 8 pmod15
Aqui o conteúdo é resolução de congruência linear do tipo axequiv bpmod m. Para resolver, precisamos calcular gcd(a,m) e verificar a condição de existência de solução.

Passo 2

Calculemos o máximo divisor comum de 4 e 15:
gcd(4,15)=1
A teoria diz que a congruência axequiv bpmod m tem solução se, e somente se, gcd(a,m) divide b. Como gcd(4,15)=1 e 1 divide 8, a congruência tem solução.

Passo 3

Quando gcd(a,m)=1, existe uma única classe de soluções módulo m. Para achar essa solução, basta inverter 4 módulo 15. Observamos que
4cdot 4 =16equiv1pmod15,
logo o inverso de 4 é 4. Multiplicando ambos os lados da congruência por esse inverso, obtemos
xequiv 4cdot 8 =32equiv 2pmod15

Passo 4

Como gcd(4,15)=1, a congruência tem exatamente uma solução incongruente no sistema de resíduos módulo 15, e essa solução é xequiv 2pmod15.

Resposta

1 solução.

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