1. (10) Se f(t)=e^{-t^{2}}(t \in \mathbb{R}) então \frac{d \hat{f}}{d \omega}-\frac{\omega \hat{f}}{2}=0.
    ( ) Verdadeiro ( ) Falso

Passo 1

O enunciado dá f(t)=e^{-t^2} e afirma que a transformada de Fourier \hat f(\omega) satisfaz
\frac{d\hat f}{d\omega}-\frac{\omega\,\hat f}{2}=0.
O conteúdo aqui é transformar a gaussiana e depois verificar essa relação diferencial.

Passo 2

Vamos calcular a transformada de Fourier de f pela definição
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}\,e^{-i\omega t}\,dt.
Usando o resultado padrão
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a t^2}e^{-i b t}\,dt =\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{-b^2/(4a)},
com a=1 e b=\omega, obtemos
\hat f(\omega)=\sqrt{\pi}\,e^{-\omega^2/4}.

Passo 3

Agora derivamos \hat f em relação a \omega. Como
\hat f(\omega)=\sqrt{\pi}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{\omega^2}{4}\bigr),
temos
\frac{d\hat f}{d\omega} =\sqrt{\pi}\,\Bigl(-\frac{\omega}{2}\Bigr)\exp\!\bigl(-\tfrac{\omega^2}{4}\bigr) =-\frac{\omega}{2}\,\hat f(\omega).

Passo 4

Substituindo em \frac{d\hat f}{d\omega}-\frac{\omega\,\hat f}{2}
-\frac{\omega}{2}\,\hat f(\omega) -\frac{\omega}{2}\,\hat f(\omega) =-\omega\,\hat f(\omega),
que não é zero em geral. Logo a igualdade proposta é falsa.

Resposta

Falso

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