(10) Fixado a>0, se f_{a}=f_{a}(t)(t \in \mathbb{R}) é dada por
f_{a}(t)=\left\{\begin{array}{c} e^{a t}, t \leq 0 \\\\ 0, t>0 \end{array}\right.
então \hat{f}_{a}(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \cdot \frac{1}{a-i \omega}(\omega \in \mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado define, para um parâmetro fixo a>0\), a função
\[f_{a}(t)= \begin{cases} e^{a t},&t\le0,\\\\ 0,&t>0. \end{cases}
O objetivo é calcular a transformada de Fourier \hat f_{a}(\omega)\]. Vamos usar a definição de transformada com normalização \(\tfrac1{2\pi} e avaliar a integral imprópria aproveitando que f_{a}(t)=0 para t>0 e que a>0 garante convergência.
Passo 2
A definição de transformada de Fourier que usaremos é
Para a>0 a parte real de (a-i\omega) é positiva, o que garante convergência ao estender a integral até t\to-\infty. Usando a fórmula de integral de exponencial,