1. (10) Fixado a>0, se f_{a}=f_{a}(t)(t \in \mathbb{R}) é dada por
f_{a}(t)=\left\{\begin{array}{c} e^{a t}, t \leq 0 \\\\ 0, t>0 \end{array}\right.
então \hat{f}_{a}(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \cdot \frac{1}{a-i \omega}(\omega \in \mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define, para um parâmetro fixo a>0\), a função \[f_{a}(t)= \begin{cases} e^{a t},&t\le0,\\\\ 0,&t>0. \end{cases}
O objetivo é calcular a transformada de Fourier \hat f_{a}(\omega)\]. Vamos usar a definição de transformada com normalização \(\tfrac1{2\pi} e avaliar a integral imprópria aproveitando que f_{a}(t)=0 para t>0 e que a>0 garante convergência.

Passo 2

A definição de transformada de Fourier que usaremos é
\hat f_{a}(\omega) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f_{a}(t)\,e^{-\,i\omega t}\,dt.

Passo 3

Como f_{a}(t)=0 para t>0, a integral se reduz a
\int_{-\infty}^{\infty}f_{a}(t)\,e^{-\,i\omega t}\,dt =\int_{-\infty}^{0}e^{a t}\,e^{-\,i\omega t}\,dt =\int_{-\infty}^{0}e^{(a - i\omega)\,t}\,dt.

Passo 4

Para a>0 a parte real de (a-i\omega) é positiva, o que garante convergência ao estender a integral até t\to-\infty. Usando a fórmula de integral de exponencial,
\int_{-\infty}^{0}e^{(a - i\omega)\,t}\,dt =\left[\frac{e^{(a - i\omega)\,t}}{a - i\omega}\right]_{t=-\infty}^{t=0} =\frac{1}{a - i\omega}\Bigl(e^{0}-0\Bigr) =\frac{1}{a - i\omega}.

Passo 5

Agora é só incluir o fator de normalização \tfrac1{2\pi}:
\hat f_{a}(\omega) =\frac{1}{2\pi}\,\frac{1}{a - i\omega}.

Resposta

\hat{f}_{a}(\omega) =\frac{1}{2\pi}\,\frac{1}{a - i\omega}.

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