1. (10) Vale a igualdade \frac{s-1}{s^{2}-s-2}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s-2}+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s+1}.
    ( ) Verdadeiro ( ) Falso

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a igualdade
\frac{s-1}{s^{2}-s-2} \;=\;\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-2} \;+\;\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{s+1}
é verdadeira. O conteúdo necessário é decomposição em frações parciais: fatorar o denominador e encontrar constantes que tornem as frações equivalentes.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
s^{2}-s-2 = (s-2)(s+1).
Procuramos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{s-1}{(s-2)(s+1)} = \frac{A}{s-2} + \frac{B}{s+1}.
Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s+1), obtemos
s - 1 = A(s+1) + B(s-2).
Expandindo e agrupando termos em s:
s - 1 = (A + B)\,s + (A - 2B).
Igualando coeficientes de s e termos independentes fica o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\ A - 2B = -1. \end{cases}
Da primeira equação vem (A = 1 - B]. Substituindo na segunda:
(1 - B) - 2B = -1 \quad\Longrightarrow\quad 1 - 3B = -1 \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{2}{3},
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A = 1 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{3}.

Passo 3

Substituindo A e B na decomposição, resulta
\frac{s-1}{s^{2}-s-2} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-2} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{s+1},
que é exatamente a igualdade proposta.

Resposta

Verdadeiro

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