1. (10) A solução u=u(x) da equação integral
\int_{-\infty}^{+\infty} K(x-t) u(t) d t+\lambda u(x)=f(x)
satisfaz
u(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\hat{f}(\omega) e^{i \omega x} d \omega}{\hat{K}(\omega)+\lambda}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação integral
\int_{-\infty}^{+\infty}K(x-t)\,u(t)\,dt \;+\;\lambda\,u(x)\;=\;f(x),
que é uma equação de convolução K*u somada a um termo de potencial \lambda\,u. O objetivo é mostrar que a solução pode ser obtida via transformada de Fourier, usando o teorema do produto-convolução e, em seguida, aplicando a transformada inversa.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier de uma função g(x) por
\hat g(\omega)\;=\;\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\,e^{-i\omega x}\,dx,
e a transformada inversa por
g(x)\;=\;\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat g(\omega)\,e^{i\omega x}\,d\omega.
Aplicando a transformada de Fourier em x à equação integral, temos:
  • A transformada de \int K(x-t)\,u(t)\,dt é \hat K(\omega)\,\hat u(\omega) (teorema da convolução).
  • A transformada de \lambda\,u(x) é \lambda\,\hat u(\omega).
  • A transformada de f(x) é \hat f(\omega).

Passo 3

No domínio de \omega, a equação vira
\hat K(\omega)\,\hat u(\omega)\;+\;\lambda\,\hat u(\omega)\;=\;\hat f(\omega).
Fatorando \hat u(\omega), obtemos
\bigl(\hat K(\omega)+\lambda\bigr)\,\hat u(\omega)\;=\;\hat f(\omega) \quad\Longrightarrow\quad \hat u(\omega)\;=\;\frac{\hat f(\omega)}{\hat K(\omega)+\lambda}.

Passo 4

Finalmente, aplicamos a transformada inversa para voltar a u(x):
u(x) \;=\; \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat u(\omega)\,e^{i\omega x}\,d\omega \;=\; \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\hat f(\omega)}{\hat K(\omega)+\lambda}\, e^{i\omega x}\,d\omega.

Resposta

u(x) =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\hat f(\omega)\,e^{i\omega x}}{\hat K(\omega)+\lambda} \,d\omega.

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