3.10 Faça o que se pede:
(a) Encontre a equação do plano tangente à superfície paramétrica (u, v)=(1,1) no ponto x y-z^2=0.
(b) Mostre que a superfície satisfaz (1,1,1). Encontre a equação do plano tangente computando o gradiente no ponto .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar a equação do plano tangente à superfície parametrizada r(u,v)=(u^2,v^2,uv) no ponto (u,v)=(1,1); (b) mostrar que essa mesma superfície satisfaz implicitamente xy - z^2=0 e, usando o gradiente, obter o plano tangente em (1,1,1). Vamos usar derivadas parciais, produto vetorial e gradiente.

Passo 2

Para (a), calculamos as derivadas parciais de r(u,v)=(u^2,v^2,uv):
ru=(2u,0,v),
rv=(0,2v,u)

Passo 3

Avalia em (u,v)=(1,1):
ru(1,1)=(2,0,1),
rv(1,1)=(0,2,1)
O vetor normal ao plano tangente é o produto vetorial

Passo 4

A equação do plano que passa por (x0,y0,z0) = r(1,1) = (1,1,1) com normal n=(-2,-2,4) é
ncdotigl((x,y,z)-(1,1,1)r)=0, 
ou seja,
(-2,-2,4)cdot(x-1,y-1,z-1)=0

Passo 5

Para (b), definimos F(x,y,z)=xy - z^2. Substituindo x=u^2, y=v^2, z=uv vemos que
F(u^2,v^2,uv)=u^2v^2-(uv)^2=0,
logo a superfície é dada implicitamente por F(x,y,z)=0.

Passo 6

Calculamos o gradiente
nabla F(x,y,z)=(partial F/partial x,,partial F/partial y,,partial F/partial z)=(y,x,-2z)
Em (1,1,1) isso dá nabla F(1,1,1)=(1,1,-2). Então o plano tangente é
(1,1,-2)cdot(x-1,y-1,z-1)=0

Resposta

(a) x + y - 2z = 0.
(b) A superfície satisfaz xy - z^2 = 0, e usando nabla F(1,1,1)=(1,1,-2) obtemos para o plano tangente
x + y - 2z = 0

Exercícios relacionados