3.10 Faça o que se pede:
(a) Encontre a equação do plano tangente à superfície paramétrica
no ponto
.
(b) Mostre que a superfície satisfaz
. Encontre a equação do plano tangente computando o gradiente no ponto
.
(a) Encontre a equação do plano tangente à superfície paramétrica
(b) Mostre que a superfície satisfaz
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar a equação do plano tangente à superfície parametrizada
no ponto
; (b) mostrar que essa mesma superfície satisfaz implicitamente
e, usando o gradiente, obter o plano tangente em
. Vamos usar derivadas parciais, produto vetorial e gradiente.
Passo 2
Para (a), calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Avalia em
:
O vetor normal ao plano tangente é o produto vetorial
Passo 4
A equação do plano que passa por
com normal
é
ou seja,
Passo 5
Para (b), definimos
. Substituindo
,
,
vemos que
logo a superfície é dada implicitamente por
.
Passo 6
Calculamos o gradiente
Em
isso dá
. Então o plano tangente é
Resposta
(a)
.
(b) A superfície satisfaz , e usando
obtemos para o plano tangente
(b) A superfície satisfaz