Determine a integral dupla das funções dadas abaixo na região delimitada pelas retas y1=0, y2=2, x1=-1 e x2=0.
f(x, y)=x e^2 y

Passo 1

Na questão, precisamos calcular a integral dupla da função f(x,y)=x e^2y na região retangular definida por x variando de -1 a 0 e y variando de 0 a 2. O conteúdo envolve integração dupla e aplicação do Teorema de Fubini para escrever como integral iterada.

Passo 2

Como a região é retangular, podemos usar Fubini e escrever a integral dupla como uma integral iterada em y primeiro e depois em x:
integral duplaD x e^2y ,dA = integralx=-1^0 gl(integraly=0^2 x e^2y ,dygr) dx

Passo 3

Vamos calcular a integral interna em y. Note que x é constante em relação a y:
integral0^2 x e^2y ,dy = x integral0^2 e^2y ,dy
A primitiva de e^2y é tfrace^2y2, então
integral0^2 e^2y ,dy = e^2y2|0^2 = e^4-12
Logo a integral interna vale xe^4-12.

Passo 4

Agora substituímos esse resultado e integramos em x:
integral-1^0 x e^4-12 ,dx = e^4-12 integral-1^0 x ,dx
A primitiva de x é tfracx^22, então
integral-1^0 x ,dx = x^22|-1^0 = 0 - (-1)^22 = -12
Multiplicando, obtemos
e^4-12 cdot l(-12r) = -e^4-14

Passo 5

Esse valor é a integral dupla solicitada: ficou negativo porque o peso x é negativo na maior parte da região de integração.

Resposta

-\frac{e^{4}-1}{4}

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