Determine a integral dupla das funções dadas abaixo na região delimitada pelas retas y1=0, y2=2, x1=-1 e x2=0.
f(x, y)=x cos (x y)

Passo 1

A gente quer calcular a integral dupla da função f(x,y)=xcos(xy) na região retangular definida por -1<= x<=0 e 0<= y<=2. O conteúdo aqui é integral dupla e vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em integrais iteradas.

Passo 2

Usando o Teorema de Fubini, a integral dupla vira a integral iterada em x e y.
integral duplaR xcos(xy),dA = integralx=-1^0 integraly=0^2 xcos(xy),dy,dx

Passo 3

Na integração interna, x é tratado como constante. Assim:
integraly=0^2 xcos(xy),dy = x integraly=0^2 cos(xy),dy = x [sin(xy)x]0^2 = sin(2x)
Substituindo na integral externa, ficamos com
integralx=-1^0 sin(2x),dx

Passo 4

Para calcular essa, usamos que a antiderivada de sin(2x) é -cos(2x)2. Avaliando de x=-1 a x=0 e simplificando, obtemos o resultado final.

Resposta

cos(2)-12

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