4.2 Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a soma das funções inversas trigonométricas e
é constante igual a
. Estamos trabalhando com funções inversas de tangente e cotangente, que envolvem identidades trigonométricas e intervalos de definição dessas funções.
Passo 2
Definimos . Por definição,
pertence a
e satisfaz
.
Passo 3
Chamamos
. Por definição,
pertence a
e satisfaz
.
Passo 4
Usamos a relação entre cotangente e tangente:
. Como
e também
, temos
Como
e
estão no mesmo intervalo
, concluímos
Passo 5
Reorganizando, obtemos
Mas e
, logo a soma desejada vale
.