4.2 Mostre que:
arctg x+arccotg x=pi2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a soma das funções inversas trigonométricas e arctg x é constante igual a arccotg x. Estamos trabalhando com funções inversas de tangente e cotangente, que envolvem identidades trigonométricas e intervalos de definição dessas funções.

Passo 2

Definimos . Por definição, theta = arctg x pertence a theta e satisfaz ( -tfracpi2, tfracpi2).

Passo 3

Chamamos phi = arccotg x. Por definição, phi pertence a (0, pi) e satisfaz cotphi = x.

Passo 4

Usamos a relação entre cotangente e tangente: cotphi = tanl(tfracpi2-phir). Como cotphi = x e também tantheta = x, temos
tantheta = tanl(tfracpi2-phir)
Como theta e tfracpi2-phi estão no mesmo intervalo ( -tfracpi2, tfracpi2), concluímos
theta = tfracpi2-phi

Passo 5

Reorganizando, obtemos
theta + phi = tfracpi2
Mas e theta = arctg x, logo a soma desejada vale phi = arccotg x.

Resposta

pi2

Exercícios relacionados