Expresse em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para expressar os operadores parciais partialpartial x, partialpartial y e partialpartial z em coordenadas esféricas. Vamos precisar usar a transformação de coordenadas (x,y,z)to(r,theta,phi) e aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x = rsinthetacosphi, y = rsinthetasinphi, z = rcostheta
Pela regra da cadeia, por exemplo:
partialpartial x = partial rpartial xpartialpartial r + partial thetapartial xpartialpartial theta + partial phipartial xpartialpartial phi

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de r,theta,phi em relação a x,y,z:
partial rpartial x = xr = sinthetacosphi, partial thetapartial x = costhetacosphir, partial phipartial x = -sinphirsintheta,
e de modo análogo:
partial rpartial y = sinthetasinphi, partial thetapartial y = costhetasinphir, partial phipartial y = cosphirsintheta; partial rpartial z = costheta, partial thetapartial z = -sinthetar, partial phipartial z = 0

Passo 4

Substituindo esses resultados na expressão da regra da cadeia, chegamos às fórmulas finais para os operadores em coordenadas esféricas.

Resposta

As expressões finais em coordenadas esféricas são:
partialpartial x = sinthetacosphipartialpartial r + costhetacosphirpartialpartial theta - sinphirsinthetapartialpartial phi,
partialpartial y = sinthetasinphipartialpartial r + costhetasinphirpartialpartial theta + cosphirsinthetapartialpartial phi,
partialpartial z = costhetapartialpartial r - sinthetarpartialpartial theta

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