1. (10) Vale a igualdade \left(2 x e^{-x^{2}}\right) * e^{-x^{2}}=e^{-x^{2}} *\left(2 x e^{-x^{2}}\right).
    ( ) Verdadeiro ( ) Falso

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas as funções f(x)=2x\,e^{-x^{2}} e g(x)=e^{-x^{2}}, vale a igualdade do tipo convolução
(f*g)(x) \;=\;(g*f)(x).
O conteúdo é convolução de funções e, para resolver, vamos usar a definição de convolução e sua propriedade de comutatividade.

Passo 2

Pela definição de convolução, temos
(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,g(x-t)\,\mathrm{d}t =\int_{-\infty}^{\infty}2t\,e^{-t^{2}}\;e^{-(x-t)^{2}}\,\mathrm{d}t.
Agora escrevemos g*f:
(g*f)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\,f(x-t)\,\mathrm{d}t =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^{2}}\;2(x-t)\,e^{-(x-t)^{2}}\,\mathrm{d}t.
Fazendo a mudança de variável \tau = x-t na segunda integral, ela se torna idêntica à primeira. Isso demonstra a comutatividade geral da convolução.

Passo 3

Como a convolução satisfaz sempre
f*g = g*f,
concluímos que \bigl(2x\,e^{-x^{2}}\bigr)*e^{-x^{2}} = e^{-x^{2}}*\bigl(2x\,e^{-x^{2}}\bigr).

Resposta

Verdadeiro

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