- (10) A função
dada por
soluciona o seguinte Problema de Cauchy para a equação do calor
( ) Verdadeiro ( ) Falso
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e afirma que ela resolve o Problema de Cauchy para a equação do calor
O conteúdo é a solução por convolução com o núcleo fundamental da equação do calor.
Passo 2
Recordamos que o núcleo fundamental (ou heat kernel) em
é
e que a solução da Cauchy–problema com dado inicial
é
Passo 3
Aqui
. Logo
Expandindo o expoente:
Fatorando
fora da integral, obtemos exatamente a forma dada em
.
Passo 4
É conhecido que a solução por convolução com
satisfaz
e, pelo teorema de convergência dominada,
isto é, a condição inicial é satisfeita.
Resposta
Verdadeiro