1. (10) A função u=u(x, t)(x \in \mathbb{R}, t>0) dada por
u(x, t)=\frac{e^{-x^{2} / 4 t}}{\sqrt{4 \pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(1+\frac{1}{4 t}\right) y^{2}+\left(\frac{x}{2 t}\right) y} d y
soluciona o seguinte Problema de Cauchy para a equação do calor
\left\{\begin{aligned} \partial_{t} u(x, t) & =\partial_{x}^{2} u(x, t)(x \in \mathbb{R}, t>0) \\\ u(x, 0) & =e^{-x^{2}}(x \in \mathbb{R}) \end{aligned}\right.
( ) Verdadeiro ( ) Falso

Passo 1

O enunciado apresenta a função
u(x,t) = \frac{e^{-x^{2}/4t}}{\sqrt{4\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\bigl(1+\tfrac{1}{4t}\bigr)y^{2} + \bigl(\tfrac{x}{2t}\bigr)y}\,dy
e afirma que ela resolve o Problema de Cauchy para a equação do calor
\begin{cases} \partial_{t}u = \partial_{x}^{2}u, & x\in\mathbb{R},\;t>0,\\\ u(x,0) = e^{-x^{2}}, & x\in\mathbb{R}. \end{cases}
O conteúdo é a solução por convolução com o núcleo fundamental da equação do calor.

Passo 2

Recordamos que o núcleo fundamental (ou heat kernel) em \mathbb{R} é
G(z,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\,e^{-z^{2}/(4t)},
e que a solução da Cauchy–problema com dado inicial \varphi(x) é
u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)\,\varphi(y)\,dy.

Passo 3

Aqui \varphi(y)=e^{-y^{2}}. Logo
u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\,e^{-(x-y)^{2}/(4t)}\;e^{-y^{2}}\,dy.
Expandindo o expoente:
-\frac{(x-y)^{2}}{4t} - y^{2} = -\frac{x^{2}}{4t} + \frac{x\,y}{2t} - \Bigl(1+\tfrac{1}{4t}\Bigr)y^{2}.
Fatorando e^{-x^{2}/4t} fora da integral, obtemos exatamente a forma dada em u(x,t).

Passo 4

É conhecido que a solução por convolução com G satisfaz \partial_{t}u=\partial_{x}^{2}u e, pelo teorema de convergência dominada,
\lim_{t\to0^{+}}u(x,t) = \lim_{t\to0^{+}}\int G(x-y,t)\,e^{-y^{2}}\,dy = e^{-x^{2}},
isto é, a condição inicial é satisfeita.

Resposta

Verdadeiro

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