1. (10) A solução do PVI
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}+x=f(t) \\\ x(0)=1 \end{array}\right.
é
x(t)=e^{-t}\left[1+\int_{0}^{t} e^{\tau} f(\tau) d \tau\right]
( ) Verdadeiro ( ) Falso

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} x' + x = f(t),\\\ x(0)=1, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma padrão x' + p(t)\,x = q(t), temos p(t)=1 e q(t)=f(t). O fator integrante é
\mu(t) = e^{\int p(t)\,dt} = e^{\int 1\,dt} = e^{t}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=e^{t}, obtendo
e^{t}x' + e^{t}x = e^{t}f(t).
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{t}x, ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}x(t)\bigr) = e^{t}f(t).
Integrando de 0 até t,
e^{t}x(t) - e^{0}x(0) = \int_{0}^{t} e^{\tau}f(\tau)\,d\tau.

Passo 4

Como x(0)=1 e e^{0}=1, temos
e^{t}x(t) - 1 = \int_{0}^{t} e^{\tau}f(\tau)\,d\tau \quad\Longrightarrow\quad e^{t}x(t) = 1 + \int_{0}^{t} e^{\tau}f(\tau)\,d\tau.
Isolando x(t),
x(t) = e^{-t}\Bigl[1 + \int_{0}^{t} e^{\tau}f(\tau)\,d\tau\Bigr].

Passo 5

Concluímos que a fórmula dada coincide exatamente com a solução geral do PVI, portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

(V) Verdadeiro

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