1. (10) A solução do PVI \left\{\begin{array}{r}x^{\prime \prime}-x^{\prime}-2 x=0 \\\ x(0)=1 \& x^{\prime}(0)=0\end{array}\right. é x(t)=(1 / 3) e^{-2 t}+(2 / 3) e^{-t}. ( ) Verdadeiro ( ) Falso

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
\begin{cases} x'' - x' - 2x = 0,\\\ x(0)=1,\;x'(0)=0 \end{cases}
e propõe como solução
x(t)=\tfrac{1}{3}e^{-2t}+\tfrac{2}{3}e^{-t}.
Para verificar se isso está certo, vamos resolver o PVI usando a equação característica.

Passo 2

Assumimos solução do tipo x(t)=e^{rt}. Substituindo em x''-x'-2x=0
r^2e^{rt}-re^{rt}-2e^{rt}=0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 - r - 2 = 0.
Resolvendo a equação quadrática:
r = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \;\Longrightarrow\; r_1=2,\;r_2=-1.

Passo 3

A solução geral da equação é
x(t) = A e^{2t} + B e^{-t}.
Calculamos a derivada
x'(t) = 2A e^{2t} - B e^{-t},
e aplicamos as condições iniciais em t=0:
x(0)=A+B=1, \quad x'(0)=2A - B=0.

Passo 4

Do sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ 2A - B = 0, \end{cases}
temos B=2A pela segunda equação. Substituindo na primeira:
A + 2A = 1 \;\Longrightarrow\; A = \tfrac{1}{3}, \quad B = \tfrac{2}{3}.
Logo a solução correta é
x(t)=\tfrac{1}{3}e^{2t}+\tfrac{2}{3}e^{-t}.

Passo 5

A solução proposta tinha e^{-2t} em vez de e^{2t} no primeiro termo, o que difere da solução correta. Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

Falso

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