Uma função f é uma função par se f(-x)=f(x), \forall x; os gráficos cartesianos de funções pares são simétricos em relação ao eixo vertical. Analogamente, uma função g é uma função ímpar se g(-x)=-g(x), \forall x. Por exemplo, p(x)=x^{2} é uma função par e q(x)=x^{3} é uma função ímpar. Classifique em verdadeira ou falsa:
(I) Todo polinômio de grau par é uma função par
(II) Todo polinômio que é uma função ímpar é um polinômio de grau ímpar
Marcar apenas uma oval.
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei
6. Q 2 *
1 ponto
Assinale a função derivada do polinômio p(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6 :
(a) \frac{x^{4}}{4}-2 x^{3}+\frac{11 x^{2}}{2}-6 x
(b) x^{2}-6 x+11
(c) x^{2}-5 x+11
(d) 3 x^{2}-12 x+11
Marcar apenas uma oval.
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)
◯ (d)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Pede classificar verdadeiro ou falso as duas afirmativas:
    (I) Todo polinômio de grau par é uma função par.
    (II) Todo polinômio que é uma função ímpar é um polinômio de grau ímpar.
  • Pede também indicar qual é a função derivada do polinômio p(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6, escolhendo entre as alternativas (a), (b), (c), (d).

Passo 2

Entender bem as definições (isso é essencial para a prova; vamos devagar e com exemplos).
  • Definição de função par: uma função f é par se vale f(-x)=f(x)\quad\text{para todo }x.Exemplo simples: f(x)=x^{2}. De fato f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x).
  • Definição de função ímpar: uma função g é ímpar se vale g(-x)=-g(x)\quad\text{para todo }x.Exemplo simples: g(x)=x^{3}. De fato g(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-g(x).
Observação prática para polinômios: o comportamento par/ímpar é determinado pelos expoentes das potências de x que aparecem com coeficiente não nulo.

Passo 3

Caracterização de polinômios pares e ímpares (uma pequena “aula” que sempre funciona):
Considere um polinômio genérico
P(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}.
Calcule P(-x):
P(-x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k}(-x)^{k}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}(-1)^{k}x^{k}.
  • Se P for par, então P(-x)=P(x). Comparando coeficientes de x^{k} vemos que precisamos ter a_{k}(-1)^{k}=a_{k}\quad\text{para todo }k.Isso implica que, para todo k ímpar, a_{k}=0. Ou seja: um polinômio é par exatamente quando só aparecem potências de x com expoentes pares (e possivelmente coeficiente constante).
  • Se P for ímpar, então P(-x)=-P(x). Comparando coeficientes: a_{k}(-1)^{k}=-a_{k}\quad\text{para todo }k,o que implica que, para todo k par, a_{k}=0. Além disso o termo constante a_{0} deve ser 0. Ou seja: um polinômio é ímpar exatamente quando só aparecem potências com expoentes ímpares (e sem termo constante).
Esse é o critério que vamos usar para responder as afirmações.

Passo 4

Analisando a afirmação (I): “Todo polinômio de grau par é uma função par.”
  • Contraexemplo direto (forma clássica de refutar uma afirmação universal): tome o polinômio r(x)=x^{4}+x.Aqui o grau é 4, que é par. Vamos ver se r é par: r(-x)=(-x)^{4}+(-x)=x^{4}-x.Comparando com r(x)=x^{4}+x, vemos que r(-x)\neq r(x) (porque os sinais do termo em x mudam). Logo r não é par.
  • Conclusão: existe pelo menos um polinômio de grau par que não é função par, portanto a afirmação (I) é falsa.
Explicação curta intuitiva: só porque o maior expoente é par não impede que existam termos com expoentes ímpares (que quebram a simetria). Para ser par, TODOS os expoentes ímpares têm que ter coeficiente zero.

Passo 5

Analisando a afirmação (II): “Todo polinômio que é uma função ímpar é um polinômio de grau ímpar.”
  • Use o critério do passo anterior: se um polinômio P é ímpar, então somente aparecem potências com expoentes ímpares (e o termo constante é zero). Escrevendo P(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-2}x^{m-2}+\cdotsna verdade só podem aparecer termos com expoentes ímpares. Portanto, o maior expoente n com coeficiente não nulo — isto é, o grau do polinômio, se P não for o polinômio zero — deve ser ímpar.
  • Observação sobre o polinômio nulo: o polinômio identicamente zero (todos coeficientes zero) satisfaz P(-x)=P(x)=0, então é simultaneamente par e ímpar; mas é uma exceção degenerada cuja “definição de grau” é especial (normalmente chamamos seu grau de indefinido). A afirmação (II) usualmente entende polinômios não-nulos.
  • Conclusão: para polinômios não-nulos, se o polinômio é ímpar então seu grau é ímpar. Logo a afirmação (II) é verdadeira (dado o entendimento padrão).

Passo 6

Agora a derivada do polinômio p(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6.
  • Regra básica usada (power rule): a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,. Para uma soma de termos, derivada soma as derivadas termo a termo. A derivada de constante é zero.
  • Aplicando termo a termo: \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},
\frac{d}{dx}\bigl(-6x^{2}\bigr)=-6\cdot 2x=-12x,
\frac{d}{dx}\bigl(11x\bigr)=11,
\frac{d}{dx}(-6)=0.
  • Somando: p'(x)=3x^{2}-12x+11.
  • Agora compare com as alternativas: isso corresponde exatamente à alternativa (d).

Resposta

Apenas (II) é Verdadeira
(d)

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