Uma função
é uma função par se
; os gráficos cartesianos de funções pares são simétricos em relação ao eixo vertical. Analogamente, uma função
é uma função ímpar se
. Por exemplo,
é uma função par e
é uma função ímpar. Classifique em verdadeira ou falsa:
(I) Todo polinômio de grau par é uma função par
(II) Todo polinômio que é uma função ímpar é um polinômio de grau ímpar
Marcar apenas uma oval.
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei
6. Q 2 *
1 ponto
Assinale a função derivada do polinômio
:
(a)
(b)
(c)
(d)
Marcar apenas uma oval.
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)
◯ (d)
(I) Todo polinômio de grau par é uma função par
(II) Todo polinômio que é uma função ímpar é um polinômio de grau ímpar
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei
6. Q 2 *
(a)
(b)
(c)
(d)
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)
◯ (d)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
- Pede classificar verdadeiro ou falso as duas afirmativas:
(I) Todo polinômio de grau par é uma função par.
(II) Todo polinômio que é uma função ímpar é um polinômio de grau ímpar. - Pede também indicar qual é a função derivada do polinômio
, escolhendo entre as alternativas (a), (b), (c), (d).
Passo 2
Entender bem as definições (isso é essencial para a prova; vamos devagar e com exemplos).
- Definição de função par: uma função
é par se vale Exemplo simples: . De fato . - Definição de função ímpar: uma função
é ímpar se vale Exemplo simples: . De fato .
Observação prática para polinômios: o comportamento par/ímpar é determinado pelos expoentes das potências de
que aparecem com coeficiente não nulo.
Passo 3
Caracterização de polinômios pares e ímpares (uma pequena “aula” que sempre funciona):
Considere um polinômio genérico
Calcule
:
- Se
for par, então . Comparando coeficientes de vemos que precisamos ter Isso implica que, para todo ímpar, . Ou seja: um polinômio é par exatamente quando só aparecem potências de com expoentes pares (e possivelmente coeficiente constante). - Se
for ímpar, então . Comparando coeficientes: o que implica que, para todo par, . Além disso o termo constante deve ser . Ou seja: um polinômio é ímpar exatamente quando só aparecem potências com expoentes ímpares (e sem termo constante).
Esse é o critério que vamos usar para responder as afirmações.
Passo 4
Analisando a afirmação (I): “Todo polinômio de grau par é uma função par.”
- Contraexemplo direto (forma clássica de refutar uma afirmação universal): tome o polinômio
Aqui o grau é , que é par. Vamos ver se é par: Comparando com , vemos que (porque os sinais do termo em mudam). Logo não é par. - Conclusão: existe pelo menos um polinômio de grau par que não é função par, portanto a afirmação (I) é falsa.
Explicação curta intuitiva: só porque o maior expoente é par não impede que existam termos com expoentes ímpares (que quebram a simetria). Para ser par, TODOS os expoentes ímpares têm que ter coeficiente zero.
Passo 5
Analisando a afirmação (II): “Todo polinômio que é uma função ímpar é um polinômio de grau ímpar.”
- Use o critério do passo anterior: se um polinômio
é ímpar, então somente aparecem potências com expoentes ímpares (e o termo constante é zero). Escrevendo na verdade só podem aparecer termos com expoentes ímpares. Portanto, o maior expoente com coeficiente não nulo — isto é, o grau do polinômio, se não for o polinômio zero — deve ser ímpar. - Observação sobre o polinômio nulo: o polinômio identicamente zero (todos coeficientes zero) satisfaz
, então é simultaneamente par e ímpar; mas é uma exceção degenerada cuja “definição de grau” é especial (normalmente chamamos seu grau de indefinido). A afirmação (II) usualmente entende polinômios não-nulos. - Conclusão: para polinômios não-nulos, se o polinômio é ímpar então seu grau é ímpar. Logo a afirmação (II) é verdadeira (dado o entendimento padrão).
Passo 6
Agora a derivada do polinômio
.
- Regra básica usada (power rule): a derivada de
é . Para uma soma de termos, derivada soma as derivadas termo a termo. A derivada de constante é zero. - Aplicando termo a termo:
- Somando:
- Agora compare com as alternativas: isso corresponde exatamente à alternativa (d).
Resposta
Apenas (II) é Verdadeira
(d)
(d)