Suponha que é uma sequência infinita de variáveis aleatórias independentes, todas definidas no mesmo espaço de probabilidade , tomando valores 0 e 1 com probabilidade cada. Mostre que é uniformemente em [0, 1]. Dica: mostre que
para todo x in R analisando n infty quando Un:=sumk=1^n 2^-k Yk onde .
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a variável aleatória
U = sumk=1^infty2^-kYk
é uniformemente distribuída em [0,1], ou seja, sua função de distribuição satisfaz
FU(x)=P[U<= x]=0,&x<0,x,&0<= x<=1,1,&x>1
Vamos usar as somas parciais Un=sumk=1^n2^-kYk e depois fazer ntoinfty.
Passo 2
Para cada n, note que Un só pode assumir os valores
0,,2^-n,,2cdot2^-n,,dots,,(2^n-1)2^-n
Além disso, como as Yk são independentes e cada uma vale 0 ou 1 com probabilidade 1/2, todos esses 2^n valores são equiprováveis, ou seja, Un é uniformemente discreta nesse conjunto.
Passo 3
Dado um xinR, seja mn=lfloor2^n xrfloor. Então
P[Un<= x]=#k2^-n:k2^-n<= x2^n =mn+12^n
Isso porque os valores possíveis de Un que são <= x vão de 0 até mn2^-n, totalizando mn+1 pontos.