10 - Infinitas Moedas II

Suponha que Y1, Y2, ldots é uma sequência infinita de variáveis aleatórias independentes, todas definidas no mesmo espaço de probabilidade (Omega, F, P), tomando valores 0 e 1 com probabilidade 1 / 2 cada. Mostre que U:=sumk=1^infty 2^-k Yk é uniformemente em [0, 1]. Dica: mostre que
P[U <= x]= x & quando x in[0,1] 1 & quando x>1 0 & quando x<0
para todo x in R analisando n infty quando Un:=sumk=1^n 2^-k Yk onde .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a variável aleatória
U = sumk=1^infty2^-kYk
é uniformemente distribuída em [0,1], ou seja, sua função de distribuição satisfaz
FU(x)=P[U<= x]=0,&x<0,x,&0<= x<=1,1,&x>1
Vamos usar as somas parciais Un=sumk=1^n2^-kYk e depois fazer ntoinfty.

Passo 2

Para cada n, note que Un só pode assumir os valores
0,,2^-n,,2cdot2^-n,,dots,,(2^n-1)2^-n
Além disso, como as Yk são independentes e cada uma vale 0 ou 1 com probabilidade 1/2, todos esses 2^n valores são equiprováveis, ou seja, Un é uniformemente discreta nesse conjunto.

Passo 3

Dado um xinR, seja mn=lfloor2^n xrfloor. Então
P[Un<= x]=#k2^-n:k2^-n<= x2^n =mn+12^n
Isso porque os valores possíveis de Un que são <= x vão de 0 até mn2^-n, totalizando mn+1 pontos.

Passo 4

Como mn<=2^n x, dividindo por 2^n obtemos
$$\frac{m_n}{2^n}\le x<\frac{m_n+1}{2^n}.
$$
Somando mn2^n<= x ao primeiro termo dá
$$\frac{m_n+1}{2^n}\le x+\frac1{2^n}.
$$
Logo
$$x-\frac1{2n}\le\frac{m_n+1}{2n}\le x+\frac1{2^n},
$$
isto é,
$$\bigl|\mathbf{P}[U_n\le x]-x\bigr|=\Bigl|\frac{m_n+1}{2n}-x\Bigr|\le\frac1{2n}.
$$

Passo 5

Como Un aumenta quase certamente para U (isto é, Unuparrow U quase certamente), pela continuidade da probabilidade em sucessões crescentes temos
P[U<= x]=limntoinftyP[Un<= x]
Pela desigualdade anterior, ao fazermos ntoinfty, o lado direito converge para x. Portanto,
P[U<= x]=xpara todo xin[0,1]

Passo 6

Não há massa de probabilidade fora de [0,1], pois as somas parciais já ficam em [0,1] e o limite também. Logo
P[U<= x]=0 se x<0, P[U<= x]=x se 0<= x<=1, P[U<= x]=1 se x>1
Isso mostra que U é Uniforme em [0,1].

Resposta

P[U<= x]=0,&x<0,x,&0<= x<=1,1,&x>1,
ou seja, UsimUnif[0,1]

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