8 - Variáveis aleatórias induzem medidas de probabilidade em
Considere uma variável aleatória
definida no espaço de probabilidade
. Prove que
induz uma medida de probabilidade em
no seguinte sentido: Para todo conjunto de Borel A de
, defina
Prove que
é um espaço de probabilidade.
Passo 1
A ideia geral é mostrar que a aplicação
dada por
é uma medida de probabilidade em
Passo 2
Como primeira propriedade de medida, verificamos que
Isto usa o fato óbvio de que não há evento em que
Passo 3
Em seguida, mostramos que a massa total é 1:
Passo 4
Falta a aditividade contável. Tomemos uma sequência disjunta
de borelianos. Como
é mensurável, cada pré-imagem
está em
, e são disjuntas. Além disso
Logo,
Passo 5
Juntando tudo, concluímos que
satisfaz as três propriedades de uma medida de probabilidade em
.
Resposta
A função
é uma medida de probabilidade sobre
, pois tem massa total 1, anula o conjunto vazio e é aditiva em uniões contáveis de conjuntos disjuntos.