8 - Variáveis aleatórias induzem medidas de probabilidade em R

Considere uma variável aleatória X definida no espaço de probabilidade (Omega, F, P). Prove que X induz uma medida de probabilidade em R no seguinte sentido: Para todo conjunto de Borel A de R, defina
P(A):=P(X in A)=P(omega in Omega: X(omega) in A)
Prove que (R, B, P) é um espaço de probabilidade.

Passo 1

A ideia geral é mostrar que a aplicação PX:B(R)to[0,1] dada por
PX(A)=P(Xin A)=P(omegainOmega: X(omega)in A)
é uma medida de probabilidade em (R,B(R)). Vamos usar que X é mensurável, ou seja, X^-1(A)inF sempre que A é boreliano.

Passo 2

Como primeira propriedade de medida, verificamos que
PX(emptyset)=P(Xinemptyset)=P(emptyset)=0
Isto usa o fato óbvio de que não há evento em que X(omega) caia num conjunto vazio.

Passo 3

Em seguida, mostramos que a massa total é 1:
PX(R)=P(XinR)=P(omega:X(omega)inR)=P(Omega)=1

Passo 4

Falta a aditividade contável. Tomemos uma sequência disjunta (An)n>=1 de borelianos. Como X é mensurável, cada pré-imagem X^-1(An) está em F, e são disjuntas. Além disso
X^-1gl(cupn=1^infty Angr) =cupn=1^infty X^-1(An)
Logo,
PXl(cupn=1^infty Anr) =Pl(cupn=1^infty X^-1(An)r) =sumn=1^infty P(X^-1(An)) =sumn=1^infty PX(An)

Passo 5

Juntando tudo, concluímos que PX satisfaz as três propriedades de uma medida de probabilidade em (R,B(R)).

Resposta

A função PX(A)=P(Xin A) é uma medida de probabilidade sobre (R,B(R)), pois tem massa total 1, anula o conjunto vazio e é aditiva em uniões contáveis de conjuntos disjuntos.

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