Se uma função F satisfizer
- F é não decrescente e
.
■
quando
e
quando
.
■ F é contínua a direita, ou seja
então
é a função de distribuição de alguma variável aleatória
.
■ F é contínua a direita, ou seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que qualquer função F não decrescente, com 0≤F(x)≤1, limites F(x)→0 em x→−∞ e F(x)→1 em x→+∞, e contínua à direita é de fato uma função de distribuição (CDF) de alguma v.a. X. Vamos usar a construção de uma medida de Stieltjes e depois definir X num espaço de probabilidade.
Passo 2
Definimos inicialmente uma pré-medida P₀ num semi-anel de intervalos do tipo (a,b]: para todo a<b, fazemos
Usamos que F é não decrescente para garantir P₀≥0, e a continuidade à direita de F garante que P₀ é contavelmente aditiva em uniões disjuntas de intervalos (propriedade essencial de pré-medida).
Passo 3
Pelo Teorema de Carathéodory, essa pré-medida P₀ se estende de modo único a uma medida P sobre a σ-álgebra gerada por esses intervalos, isto é, a σ-álgebra de Borel em ℝ. Verificamos também que
portanto P é uma medida de probabilidade.
Passo 4
Construímos então o espaço de probabilidade (ℝ, B(ℝ), P) e definimos a variável aleatória X(ω)=ω. Por construção X é mensurável de (ℝ,B(ℝ)) em (ℝ,B(ℝ)).
Passo 5
Por fim, para todo x∈ℝ temos
logo a função de distribuição de X coincide com F, e assim F é de fato a CDF de X.
Resposta
Tomando a pré-medida P₀((a,b])=F(b)−F(a) e estendendo-a a uma medida de probabilidade P via Carathéodory, e definindo X(ω)=ω no espaço (ℝ,B(ℝ),P), obtemos P(X≤x)=F(x). Portanto F é função de distribuição de X.