Se uma função F satisfizer
  • F é não decrescente e 0 <= F(x) <= 1.
F(x) 0 quando x -infty e F(x) 1 quando x +infty.
■ F é contínua a direita, ou seja
lim y x+ F(y)=F(x)
então F é a função de distribuição de alguma variável aleatória X.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que qualquer função F não decrescente, com 0≤F(x)≤1, limites F(x)→0 em x→−∞ e F(x)→1 em x→+∞, e contínua à direita é de fato uma função de distribuição (CDF) de alguma v.a. X. Vamos usar a construção de uma medida de Stieltjes e depois definir X num espaço de probabilidade.

Passo 2

Definimos inicialmente uma pré-medida P₀ num semi-anel de intervalos do tipo (a,b]: para todo a<b, fazemos
P₀((a,b])=F(b)-F(a)
Usamos que F é não decrescente para garantir P₀≥0, e a continuidade à direita de F garante que P₀ é contavelmente aditiva em uniões disjuntas de intervalos (propriedade essencial de pré-medida).

Passo 3

Pelo Teorema de Carathéodory, essa pré-medida P₀ se estende de modo único a uma medida P sobre a σ-álgebra gerada por esses intervalos, isto é, a σ-álgebra de Borel em ℝ. Verificamos também que
P(ℝ)=limx→+∞F(x)-limx→−∞F(x)=1-0=1,
portanto P é uma medida de probabilidade.

Passo 4

Construímos então o espaço de probabilidade (ℝ, B(ℝ), P) e definimos a variável aleatória X(ω)=ω. Por construção X é mensurável de (ℝ,B(ℝ)) em (ℝ,B(ℝ)).

Passo 5

Por fim, para todo x∈ℝ temos
P(X<= x)=P((−∞,x])=F(x)-limy→-∞F(y)=F(x)-0=F(x),
logo a função de distribuição de X coincide com F, e assim F é de fato a CDF de X.

Resposta

Tomando a pré-medida P₀((a,b])=F(b)−F(a) e estendendo-a a uma medida de probabilidade P via Carathéodory, e definindo X(ω)=ω no espaço (ℝ,B(ℝ),P), obtemos P(X≤x)=F(x). Portanto F é função de distribuição de X.

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