* 11 - Outra construção da Distribuição de Cantor

Considere Yn como no problema anterior. Defina
Y=sumn=1^infty 2 Yn3^n
a) Prove que a função de distribuição FY é contínua.
b) Prove que FY é diferenciável q.c. com derivada igual a 0 q.c. Dica Prove que FY é constante no complemento do conjunto de Cantor.
c) Dado muY a distribuição de Y. E m a medida de Lebesgue na reta real. Prove que muY e m são mutualmente singulares. Ou seja que existe um conjunto de Borel A com m(A)=0 e .

Passo 1

O exercício define a variável aleatória
Y=sumn=1^infty 2Yn3^n
onde cada Yn assume valores em {0,1} com probabilidade 1/2 e dá a famosa distribuição de Cantor. O conteúdo principal é teoria de funções de distribuição: continuidade, derivabilidade quase em todo lugar e singularidade em relação à medida de Lebesgue. Vamos usar o fato de que os “saltos” da função vão desaparecendo e que o suporte de Y é exatamente o conjunto de Cantor.

Passo 2

Para mostrar que FY(x)=P(Y<= x) é contínua, basta provar que não há átomos, isto é, que P(Y=x)=0 para todo x. Qualquer x pode ser escrito (talvez de forma não única) como
x=sumn=1^infty 2an3^n, anin0,1
Se Y=x então Yn=an para todo n, mas isso ocorre com probabilidade
P(Y1=a1,dots,Yn=an,dots)=prodn=1^infty tfrac12=0
Logo P(Y=x)=0 e não há descontinuidades em saltos, então FY é contínua.

Passo 3

Para ver a derivabilidade quase em todo lugar e que FY'=0 naqueles pontos, note que o suporte de Y é o conjunto de Cantor C. O complemento de C na reta é a união de intervalos abertos (os “buracos” do cantor). Em cada um desses intervalos não há massa de probabilidade, então em qualquer intervalo removido temos
FY(x)=constante
Funções constantes são deriváveis com derivada zero. Como a união dos buracos tem medida de Lebesgue total (isto é, cobre tudo exceto C), concluímos que FY é diferenciável em quase todo lugar (fora de C) e em cada ponto de diferenciabilidade FY'(x)=0.

Passo 4

Para mostrar a singularidade mútua entre a medida de probabilidade muY de Y e a medida de Lebesgue m, basta escolher o conjunto de Cantor C. Sabemos que
m(C)=0,
pois o conjunto de Cantor tem medida zero. E como Y só assume valores em C, temos
muY(C^c)=P(Ynotin C)=0
Isto prova que existe um conjunto de medida de Lebesgue nula que carrega toda a massa de muY, ou seja, são mutuamente singulares.

Resposta

a) A função de distribuição FY é contínua pois não há nenhum ponto x com P(Y=x)>0, logo não há saltos.
b) FY é diferenciável quasi‐continuamente (isto é, em quase todo ponto da reta), e em cada ponto de derivabilidade temos FY'(x)=0, pois é constante em cada intervalo aberto do complemento do conjunto de Cantor.
c) Escolhendo o conjunto de Cantor C temos m(C)=0 e muY(C^c)=0, logo as medidas de probabilidade de Y e a medida de Lebesgue são mutuamente singulares.

Exercícios relacionados