* 11 - Outra construção da Distribuição de Cantor
Considere
como no problema anterior. Defina
a) Prove que a função de distribuição
é contínua.
b) Prove que
é diferenciável q.c. com derivada igual a 0 q.c. Dica Prove que
é constante no complemento do conjunto de Cantor.
c) Dado
a distribuição de Y. E m a medida de Lebesgue na reta real. Prove que
e m são mutualmente singulares. Ou seja que existe um conjunto de Borel
com
e
.
b) Prove que
c) Dado
Passo 1
O exercício define a variável aleatória
onde cada
assume valores em {0,1} com probabilidade
e dá a famosa distribuição de Cantor. O conteúdo principal é teoria de funções de distribuição: continuidade, derivabilidade quase em todo lugar e singularidade em relação à medida de Lebesgue. Vamos usar o fato de que os “saltos” da função vão desaparecendo e que o suporte de
é exatamente o conjunto de Cantor.
Passo 2
Para mostrar que
é contínua, basta provar que não há átomos, isto é, que
para todo
. Qualquer
pode ser escrito (talvez de forma não única) como
Se
então
para todo
, mas isso ocorre com probabilidade
Logo
e não há descontinuidades em saltos, então
é contínua.
Passo 3
Para ver a derivabilidade quase em todo lugar e que
naqueles pontos, note que o suporte de
é o conjunto de Cantor
. O complemento de
na reta é a união de intervalos abertos (os “buracos” do cantor). Em cada um desses intervalos não há massa de probabilidade, então em qualquer intervalo removido temos
Funções constantes são deriváveis com derivada zero. Como a união dos buracos tem medida de Lebesgue total (isto é, cobre tudo exceto
), concluímos que
é diferenciável em quase todo lugar (fora de
) e em cada ponto de diferenciabilidade
.
Passo 4
Para mostrar a singularidade mútua entre a medida de probabilidade
de
e a medida de Lebesgue
, basta escolher o conjunto de Cantor
. Sabemos que
pois o conjunto de Cantor tem medida zero. E como
só assume valores em
, temos
Isto prova que existe um conjunto de medida de Lebesgue nula que carrega toda a massa de
, ou seja, são mutuamente singulares.
Resposta
a) A função de distribuição
é contínua pois não há nenhum ponto
com
, logo não há saltos.
b) é diferenciável quasi‐continuamente (isto é, em quase todo ponto da reta), e em cada ponto de derivabilidade temos
, pois é constante em cada intervalo aberto do complemento do conjunto de Cantor.
c) Escolhendo o conjunto de Cantor temos
e
, logo as medidas de probabilidade de
e a medida de Lebesgue são mutuamente singulares.
b)
c) Escolhendo o conjunto de Cantor