Suponha
e
duas variáveis aleatórias e que
é estocasticamente maior que
. Mostre que existem variáveis aleatórias
e
definidas no mesmo espaço de probabilidade
tais que
e
para todo
.
Definição: Suponha
e
duas variáveis aleatórias, não necessariamente definidas no mesmo espaço de probabilidade. A variável aleatória
é dita estocasticamente maior que
se
para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y, não necessariamente no mesmo espaço, e que Y é estocasticamente maior que X, ou seja
para todo
. A tarefa é construir no mesmo espaço duas variáveis
e
com
para todo
.
Passo 2
Vamos usar a técnica de acoplamento via funções quantil. Primeiro definimos as funções de distribuição acumulada
A hipótese de ordem estocástica é
$$
F_X(x)\ge F_Y(x)\quad\forall x.
F_X^{-1}(u)=\inf{x\in\mathbb R:F_X(x)\ge u},\quad F_Y^{-1}(u)=\inf{x\in\mathbb R:F_Y(x)\ge u}.
$$
Passo 3
Agora montamos um espaço de probabilidade canônico: seja
e
, de modo que
. Definimos
Por construção,
tem distribuição
e
tem distribuição
.
Passo 4
Finalmente, como
em todo
, pelas propriedades das inversas à direita temos
Assim para todo
Isso mostra o acoplamento desejado.
Passo 5
Com isso, construímos
e
no mesmo espaço com as leis corretas e satisfazendo
ponto a ponto.
Resposta
Basta tomar
,
, e definir
Então
,
e
para todo
.