Suponha X e Y duas variáveis aleatórias e que Y é estocasticamente maior que X. Mostre que existem variáveis aleatórias X^* e Y^* definidas no mesmo espaço de probabilidade (Omega, F, P) tais que X^* sim X, Y^* sim Y e X^*(omega) <= Y^*(omega) para todo omega in Omega.
Definição: Suponha X e Y duas variáveis aleatórias, não necessariamente definidas no mesmo espaço de probabilidade. A variável aleatória Y é dita estocasticamente maior que X se P[X <= x] >= P[Y <= x] para todo x in R.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y, não necessariamente no mesmo espaço, e que Y é estocasticamente maior que X, ou seja P[X<= x]>= P[Y<= x] para todo x. A tarefa é construir no mesmo espaço duas variáveis X^*sim X e Y^*sim Y com X^*(omega)<= Y^*(omega) para todo omega.

Passo 2

Vamos usar a técnica de acoplamento via funções quantil. Primeiro definimos as funções de distribuição acumulada
FX(x)=P[X<= x], FY(x)=P[Y<= x]
A hipótese de ordem estocástica é
$$
F_X(x)\ge F_Y(x)\quad\forall x. FX(x)>= FY(x)forall xçõà
F_X^{-1}(u)=\inf{x\in\mathbb R:F_X(x)\ge u},\quad F_Y^{-1}(u)=\inf{x\in\mathbb R:F_Y(x)\ge u}.
$$

Passo 3

Agora montamos um espaço de probabilidade canônico: seja (Omega, F, P)=([0,1], B([0,1]),Lebesgue) e U(omega)=omega, de modo que UsimUniform(0,1). Definimos
X^*(omega)=FX^-1(U(omega)), Y^*(omega)=FY^-1(U(omega))
Por construção, X^* tem distribuição FX e Y^* tem distribuição FY.

Passo 4

Finalmente, como FX(x)>= FY(x) em todo x, pelas propriedades das inversas à direita temos
FX^-1(u)<= FY^-1(u)forall uin(0,1)
Assim para todo omegain[0,1]
X^*(omega)=FX^-1(U(omega))<= FY^-1(U(omega))=Y^*(omega)
Isso mostra o acoplamento desejado.

Passo 5

Com isso, construímos X^* e Y^* no mesmo espaço com as leis corretas e satisfazendo X^*<= Y^* ponto a ponto.

Resposta

Basta tomar Omega=[0,1], UsimUniform(0,1), e definir
X^*(omega)=FX^-1(U(omega)), Y^*(omega)=FY^-1(U(omega))
Então X^*sim X, Y^*sim Y e X^*(omega)<= Y^*(omega) para todo omega.

Exercícios relacionados