(10) \int_{-1}^{2} x^{2} e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2} x^{2}e^{x}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por partes, e como temos x^{2}e^{x} vamos aplicar a fórmula duas vezes para encontrar a primitiva.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva de \int x^{2}e^{x}\,dx. Escolhemos
u = x^{2},\quad dv = e^{x}\,dx
então
du = 2x\,dx,\quad v = e^{x}.
Pela integração por partes,
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int 2x\,e^{x}\,dx.

Passo 3

Agora precisamos de \int 2x\,e^{x}\,dx. Fatorando o 2:
\int 2x\,e^{x}\,dx = 2\int x\,e^{x}\,dx.
Para \int x\,e^{x}\,dx aplicamos outra vez partes com
u = x,\quad dv = e^{x}\,dx
de onde
du = dx,\quad v = e^{x}.
Isso dá
\int x\,e^{x}\,dx = x\,e^{x} - \int e^{x}\,dx = x\,e^{x} - e^{x} = e^{x}(x - 1).
Logo
\int 2x\,e^{x}\,dx = 2\,e^{x}(x - 1).

Passo 4

Substituindo de volta em \int x^{2}e^{x}\,dx:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\,e^{x}(x - 1) + C = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C.
Portanto uma primitiva é
F(x) = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr).

Passo 5

Agora avaliamos de -1 a 2:
\int_{-1}^{2} x^{2}e^{x}\,dx = F(2) - F(-1).
Calculando cada termo:
F(2) = e^{2}\bigl(2^{2} - 2\cdot2 + 2\bigr) = e^{2}(4 - 4 + 2) = 2e^{2},
F(-1) = e^{-1}\bigl((-1)^{2} - 2(-1) + 2\bigr) = e^{-1}(1 + 2 + 2) = 5e^{-1}.
Logo
\int_{-1}^{2} x^{2}e^{x}\,dx = 2e^{2} - 5e^{-1}.

Resposta

2e^{2} \;-\; 5e^{-1}.

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