(1,50) Calcule a curvatura da parábola y=x^{2};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a curvatura da parábola y=x^{2}. Aqui o conteúdo é geometria diferencial de curvas planas, e vamos usar a fórmula da curvatura para o gráfico de uma função y=f(x), que envolve a primeira e a segunda derivada de f.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y=x^{2}:
y' = \frac{dy}{dx} = 2x,
y'' = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 2.

Passo 3

A fórmula da curvatura \kappa(x) para o gráfico y=f(x) é
\kappa(x) \;=\;\frac{\bigl|y''\bigr|}{\bigl(1+(y')^{2}\bigr)^{3/2}}.
Como y''=2>0, temos
\kappa(x) \;=\;\frac{2}{\bigl(1+(2x)^{2}\bigr)^{3/2}} \;=\;\frac{2}{\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{3/2}}.

Resposta

\kappa(x) = \frac{2}{\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{3/2}}.

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