(0,50) Existe algum ponto da parábola onde a curvatura é zero? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe algum ponto de uma parábola onde a curvatura seja zero. O conteúdo aqui é cálculo de curvatura de uma curva plana dada por y=f(x). Para resolver, vamos precisar da fórmula da curvatura em função de f'(x) e f''(x):
\kappa(x) \;=\;\frac{\lvert f''(x)\rvert}{\bigl[1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}\bigr]^{3/2}}.

Passo 2

Considere a parábola genérica
y = ax^{2} + bx + c,\quad a\neq 0.
Então as derivadas são
f'(x) = 2ax + b \quad\text{e}\quad f''(x) = 2a.

Passo 3

Substituindo na fórmula da curvatura, obtemos
\kappa(x) =\frac{\lvert 2a\rvert}{\bigl[1 + (2ax + b)^{2}\bigr]^{3/2}}.

Passo 4

Observe que \lvert 2a\rvert>0 e que o denominador \bigl[1 + (2ax + b)^{2}\bigr]^{3/2} é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}. Logo, \kappa(x)>0 para todo x. Não existe valor de x que anule a curvatura.

Resposta

Não existe ponto da parábola em que a curvatura seja zero, pois \kappa(x) é estritamente positiva para todo x.

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