2.5 (F) Resolva:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a gente resolva: ou seja, encontre a função
que satisfaz essa igualdade para todo
. As informações relevantes são: a derivada
, o termo linear em
com coeficiente
, e o termo do lado direito
. Queremos a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Escolha do método e ideia geral. Esta é uma equação diferencial de primeira ordem da forma padrão
com
e
. Um método eficaz aqui é o fator integrante (integrating factor). A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto
. O fator integrante é dado pela fórmula
Aqui
, então eu vou calcular
.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Usando
,
Ao multiplicar a equação original por
, esperamos transformar o lado esquerdo em
. Vou mostrar isso explicitamente.
Passo 4
Multiplico toda a equação por
:
Pela regra do produto,
. Logo o lado esquerdo é exatamente
. Portanto a equação fica
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Precisamos calcular a integral
. Vou fazer por partes (duas vezes), explicando cada escolha.
Regra de integração por partes:
. Escolho primeiramente
Aplicando:
Passo 6
Agora calculo
por partes novamente. Escolho
Então
Voltando à integral anterior:
Factorizando
:
(Os
serão absorvidos na constante geral
que aparecerá na solução.)
Passo 7
Substituo a integral calculada em
:
Agora isolo
dividindo ambos os lados por
:
onde
é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral da equação. Posso interpretar a solução como soma de uma solução particular
, e da solução geral da homogênea
(porque a homogênea
tem solução
).
Passo 8
Verificação rápida (pra te deixar mais tranquilo): calcule a derivada da parte particular
:
Então
, que bate com o termo do lado direito. Portanto a parte particular está correta e a forma da solução geral também está certa.