2.5 (F) Resolva: frac{d y}{d x}+y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+y=x^{2}
e pede que a gente resolva: ou seja, encontre a função y(x) que satisfaz essa igualdade para todo x. As informações relevantes são: a derivada \frac{d y}{d x}, o termo linear em y com coeficiente 1, e o termo do lado direito x^{2}. Queremos a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Escolha do método e ideia geral. Esta é uma equação diferencial de primeira ordem da forma padrão
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x),
com P(x)=1 e Q(x)=x^{2}. Um método eficaz aqui é o fator integrante (integrating factor). A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(x)\,y(x). O fator integrante é dado pela fórmula
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Aqui P(x)=1, então eu vou calcular \mu(x).

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). Usando P(x)=1,
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Ao multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{x}, esperamos transformar o lado esquerdo em \frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big). Vou mostrar isso explicitamente.

Passo 4

Multiplico toda a equação por e^{x}:
e^{x}\frac{d y}{d x}+e^{x}y=e^{x}x^{2}.
Pela regra do produto, \frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{x}\frac{d y}{d x}+e^{x}y. Logo o lado esquerdo é exatamente \frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big). Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{x}x^{2}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x}y=\int e^{x}x^{2}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Precisamos calcular a integral \int e^{x}x^{2}\,dx. Vou fazer por partes (duas vezes), explicando cada escolha.
Regra de integração por partes: \int u\,dv = u v - \int v\,du. Escolho primeiramente
u = x^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx,
dv = e^{x}\,dx\quad\Rightarrow\quad v = e^{x}.
Aplicando:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int e^{x}\cdot 2x\,dx = x^{2}e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.

Passo 6

Agora calculo \int x e^{x}\,dx por partes novamente. Escolho
u = x\quad\Rightarrow\quad du = dx,
dv = e^{x}\,dx\quad\Rightarrow\quad v = e^{x}.
Então
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C_{1} = e^{x}(x-1)+C_{1}.
Voltando à integral anterior:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\big(e^{x}(x-1)\big) + C_{2}.
Factorizando e^{x}:
\int x^{2}e^{x}\,dx = e^{x}\big(x^{2} - 2x + 2\big) + C_{2}.
(Os C_{1},C_{2} serão absorvidos na constante geral C que aparecerá na solução.)

Passo 7

Substituo a integral calculada em e^{x}y=\int e^{x}x^{2}\,dx + C:
e^{x}y = e^{x}\big(x^{2} - 2x + 2\big) + C.
Agora isolo y dividindo ambos os lados por e^{x}:
y = x^{2} - 2x + 2 + C e^{-x},
onde C é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral da equação. Posso interpretar a solução como soma de uma solução particular \,y_{p}(x)=x^{2}-2x+2, e da solução geral da homogênea \,y_{h}(x)=C e^{-x} (porque a homogênea \frac{dy}{dx}+y=0 tem solução y=C e^{-x}).

Passo 8

Verificação rápida (pra te deixar mais tranquilo): calcule a derivada da parte particular \,y_{p}=x^{2}-2x+2:
\frac{d y_{p}}{dx}=2x-2.
Então \frac{d y_{p}}{dx}+y_{p}=(2x-2)+(x^{2}-2x+2)=x^{2}, que bate com o termo do lado direito. Portanto a parte particular está correta e a forma da solução geral também está certa.

Resposta

y=x^{2}-2x+2+Ce^{-x}

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