10 L de
e
de
foram misturados mantendo a temperatura e pressão constantes de 300 K e
, respectivamente. O volume final da mistura foi de
. Calcule a variação da entropia do processo de mistura. Dica: Considere que os gases são perfeitos e descubra o número de mols de cada gás. Ainda, note que os gases expandiram. R:
.
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados (pegue estes números do enunciado):
- Volume de
: . - Volume de
: . - Pressão mantida:
. - Temperatura mantida:
. - Volume final da mistura:
.
O que o problema pede:
- Calcular a variação de entropia do processo de mistura (isto é,
da mistura) assumindo gases ideais.
Observação importante (extraída do enunciado): os gases foram misturados mantendo
e
constantes; cada gás inicialmente ocupava o seu volume dado e depois ambos passaram a ocupar o volume total
. Isso sugere usar a relação de entropia para uma expansão isotérmica reversível de gás ideal para cada componente, e somar as contribuições para obter
da mistura.
Passo 2
Calcular o número de mols de cada gás usando a equação dos gases ideais.
Fórmula (Lei dos Gases Ideais):
onde
-
é o número de mols, -
é a pressão (em ), -
é o volume (em ), -
é a constante dos gases: aqui vou usar , -
é a temperatura (em ).
Para
(substituindo
,
,
):
Calcule o denominador primeiro:
Então
Para
(mesma pressão e temperatura, volume
):
Verificação:
Passo 3
Entendendo a fórmula da variação de entropia para mistura de gases ideais (aula rápida e intuitiva).
Conceito: quando um gás ideal sofre uma expansão isotérmica e reversível de um volume
para
, a variação de entropia do gás é
onde
é o número de mols do gás,
é a constante dos gases em unidades de energia (
) se queremos
em
, e os volumes são os inicial e final do gás.
Por que isso vale para mistura? Se os gases iniciais estavam separados em volumes
e
e depois ambos ocupam o mesmo volume final
sem troca de calor adicional (processo global irreversível, mas podemos calcular a variação de entropia total considerando um caminho reversível hipotético em que cada gás se expande isotermicamente e reversivelmente para
), a entropia total da mistura é a soma das variações de entropia de cada componente:
Aqui:
-
já calculados, -
conhecidos, -
deve estar em para obter em . Vou usar .
Passo 4
Calcular as razões de volumes e seus logaritmos naturais.
Razões:
Logaritmos naturais:
(Usei aproximações com 5 dígitos para manter precisão suficiente.)
Passo 5
Calcular a contribuição de cada gás para
usando
.
Para
:
Calcule passo a passo:
Para
:
Calcule:
Passo 6
Somar as contribuições para obter a variação total de entropia da mistura.
Arredondando de forma apropriada (os dados tabulados têm 3 ou 4 algarismos significativos), podemos apresentar três algarismos significativos:
Sinal positivo: a mistura espontânea aumenta a entropia, como esperado.