10 L de \mathrm{N}_{2} e 3,50 \mathrm{~L} de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O} foram misturados mantendo a temperatura e pressão constantes de 300 K e 0,55 \mathrm{~atm}, respectivamente. O volume final da mistura foi de 13,50 \mathrm{~L}. Calcule a variação da entropia do processo de mistura. Dica: Considere que os gases são perfeitos e descubra o número de mols de cada gás. Ainda, note que os gases expandiram. R: \mathbf{+ 1 , 4 3 ~ J} / \mathrm{K}.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados (pegue estes números do enunciado):
  • Volume de \mathrm{N}_2: V_1 = 10{,}00\\ \mathrm{L}.
  • Volume de \mathrm{N_2O}: V_2 = 3{,}50\\ \mathrm{L}.
  • Pressão mantida: P = 0{,}55\\ \mathrm{atm}.
  • Temperatura mantida: T = 300\\ \mathrm{K}.
  • Volume final da mistura: V_f = 13{,}50\\ \mathrm{L}.
O que o problema pede:
  • Calcular a variação de entropia do processo de mistura (isto é, \Delta S da mistura) assumindo gases ideais.
Observação importante (extraída do enunciado): os gases foram misturados mantendo P e T constantes; cada gás inicialmente ocupava o seu volume dado e depois ambos passaram a ocupar o volume total V_f. Isso sugere usar a relação de entropia para uma expansão isotérmica reversível de gás ideal para cada componente, e somar as contribuições para obter \Delta S da mistura.

Passo 2

Calcular o número de mols de cada gás usando a equação dos gases ideais.
Fórmula (Lei dos Gases Ideais):
n=\frac{P V}{R T},
onde
  • n é o número de mols,
  • P é a pressão (em \mathrm{atm}),
  • V é o volume (em \mathrm{L}),
  • R é a constante dos gases: aqui vou usar R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},
  • T é a temperatura (em \mathrm{K}).
Para \mathrm{N}_2 (substituindo P, V_1, T):
n_1=\frac{(0{,}55\\ \mathrm{atm})(10{,}00\\ \mathrm{L})}{(0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}})(300\\ \mathrm{K})}.
Calcule o denominador primeiro:
(0{,}082057)(300)=24{,}6171.
Então
n_1=\frac{5{,}50}{24{,}6171}\approx 0{,}2235\\ \mathrm{mol}.
Para \mathrm{N_2O} (mesma pressão e temperatura, volume V_2):
n_2=\frac{(0{,}55)(3{,}50)}{24{,}6171}=\frac{1{,}925}{24{,}6171}\approx 0{,}07823\\ \mathrm{mol}.
Verificação: n_{\text{total}}=n_1+n_2\approx 0{,}2235+0{,}07823=0{,}3017\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Entendendo a fórmula da variação de entropia para mistura de gases ideais (aula rápida e intuitiva).
Conceito: quando um gás ideal sofre uma expansão isotérmica e reversível de um volume V_i para V_f, a variação de entropia do gás é
\Delta S_i = n_i R \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right),
onde n_i é o número de mols do gás, R é a constante dos gases em unidades de energia ( \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}) se queremos \Delta S em \mathrm{J/K}, e os volumes são os inicial e final do gás.
Por que isso vale para mistura? Se os gases iniciais estavam separados em volumes V_1 e V_2 e depois ambos ocupam o mesmo volume final V_f sem troca de calor adicional (processo global irreversível, mas podemos calcular a variação de entropia total considerando um caminho reversível hipotético em que cada gás se expande isotermicamente e reversivelmente para V_f), a entropia total da mistura é a soma das variações de entropia de cada componente:
\Delta S_{\text{mix}}=\sum_i n_i R \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=n_1 R \ln\!\left(\frac{V_f}{V_1}\right)+n_2 R \ln\!\left(\frac{V_f}{V_2}\right).
Aqui:
  • n_1,n_2 já calculados,
  • V_1,V_2,V_f conhecidos,
  • R deve estar em \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} para obter \Delta S em \mathrm{J/K}. Vou usar R=8{,}314462\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.

Passo 4

Calcular as razões de volumes e seus logaritmos naturais.
Razões:
\frac{V_f}{V_1}=\frac{13{,}50}{10{,}00}=1{,}35, \qquad \frac{V_f}{V_2}=\frac{13{,}50}{3{,}50}=3{,}857142857\ldots
Logaritmos naturais:
\ln\!\left(1{,}35\right)\approx 0{,}30010, \qquad \ln\!\left(3{,}857142857\right)\approx 1{,}34993.
(Usei aproximações com 5 dígitos para manter precisão suficiente.)

Passo 5

Calcular a contribuição de cada gás para \Delta S_{\text{mix}} usando R=8{,}314462\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Para \mathrm{N}_2:
\Delta S_1 = n_1 R \ln\!\left(\frac{V_f}{V_1}\right) = (0{,}2235\\ \mathrm{mol}) (8{,}314462\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}})(0{,}30010).
Calcule passo a passo:
8{,}314462\times 0{,}30010 \approx 2{,}4950\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},
\Delta S_1 \approx 0{,}2235\times 2{,}4950 \approx 0{,}5579\\ \mathrm{J/K}.
Para \mathrm{N_2O}:
\Delta S_2 = n_2 R \ln\!\left(\frac{V_f}{V_2}\right) = (0{,}07823)(8{,}314462)(1{,}34993).
Calcule:
8{,}314462\times 1{,}34993 \approx 11{,}2276\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},
\Delta S_2 \approx 0{,}07823\times 11{,}2276 \approx 0{,}8776\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Somar as contribuições para obter a variação total de entropia da mistura.
\Delta S_{\text{mix}}=\Delta S_1+\Delta S_2\approx 0{,}5579+0{,}8776=1{,}4355\\ \mathrm{J/K}.
Arredondando de forma apropriada (os dados tabulados têm 3 ou 4 algarismos significativos), podemos apresentar três algarismos significativos:
\Delta S_{\text{mix}}\approx 1{,}43\\ \mathrm{J/K}.
Sinal positivo: a mistura espontânea aumenta a entropia, como esperado.

Resposta

+1{,}43\\ \mathrm{J/K}

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