Calcule a variação de entropia de um sistema quando 10,0 \mathrm{~g} de gelo a -10,0^{\circ} \mathrm{C} são convertidos a vapor d’água a 115,0^{\circ} \mathrm{C} e à pressão constante de 1 bar. A capacidade calorífica da \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{s}) é 37,800 \mathrm{~J} / \mathrm{molK}, da \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{l}) é 75,291 \mathrm{~J} / \mathrm{molK} e a da \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{g}) é 33,58 \mathrm{~J} / \mathrm{molK}. A entalpiapadrao de fusão e vaporização da água são 6,008 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} e 40,656 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}, respectivamente. A massa molar da água é 18 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. R: \mathbf{8 6 , 4 4 ~ J} / \mathrm{K}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a variação de entropia do sistema quando 10{,}0\\ \mathrm{g} de gelo a -10{,}0^\circ\mathrm{C} são transformados em vapor d’água a 115{,}0^\circ\mathrm{C} à pressão constante de 1\\ \mathrm{bar}.
Informações fornecidas (vou usá-las tal como estão):
  • Massa de água: m=10{,}0\\ \mathrm{g}.
  • Massa molar da água: M=18\\ \mathrm{g/mol}.
  • Capacidades caloríficas molares (constantes com T, segundo enunciado):
    • \displaystyle C_{s}(\mathrm{H_2O(s)})=37{,}800\\ \mathrm{J/(mol\;K)}.
    • \displaystyle C_{\ell}(\mathrm{H_2O(\ell)})=75{,}291\\ \mathrm{J/(mol\;K)}.
    • \displaystyle C_{g}(\mathrm{H_2O(g)})=33{,}58\\ \mathrm{J/(mol\;K)}.
  • Entalpias padrão:
    • \displaystyle \Delta H_{\mathrm{fus}}=6{,}008\\ \mathrm{kJ/mol}=6008\\ \mathrm{J/mol}.
    • \displaystyle \Delta H_{\mathrm{vap}}=40{,}656\\ \mathrm{kJ/mol}=40656\\ \mathrm{J/mol}.
  • Temperaturas de interesse (converter para Kelvin):
    • Temperatura inicial do gelo: T_i=-10{,}0^\circ\mathrm{C}=263{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Ponto de fusão (assumimos 0^\circ\mathrm{C}): T_m=0{,}0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Ponto de ebulição (assumimos 100^\circ\mathrm{C} a 1\\ \mathrm{bar}): T_b=100{,}0^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura final do vapor: T_f=115{,}0^\circ\mathrm{C}=388{,}15\\ \mathrm{K}.
O enunciado pede a variação total de entropia \Delta S_{\text{tot}} do sistema. O caminho natural (e conveniente) para a contagem de entropia é dividir o processo em etapas reversíveis elementares (aquecimento sólido, fusão, aquecimento líquido, vaporização, aquecimento do vapor) e somar as variações de entropia de cada etapa.

Passo 2

Quanto de matéria temos (número de mols)?
A fórmula:
n=\frac{m}{M}.
Substituindo:
n=\frac{10{,}0\\ \mathrm{g}}{18\\ \mathrm{g/mol}}=0{,}555555\ldots\\ \mathrm{mol}.
Vou usar n=0{,}55556\\ \mathrm{mol} (mantendo dígitos significativos suficientes para a prova).
Explicação didática (por que fazemos isso): entropia é uma propriedade extensiva; as capacidades e entalpias fornecidas são por mol, então precisamos do número de mols para converter o calor trocado pelo sistema todo.

Passo 3

Estratégia matemática para cada etapa (fórmulas e porquê):
  • Para aquecimento reversível de uma forma pura com capacidade calorífica molar C constante entre T_1 e T_2:
\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{dQ_{\text{rev}}}{T}=\int_{T_1}^{T_2}\frac{n C\,dT}{T}=n C \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Aqui C é a capacidade molar (J mol ^{-1} K ^{-1}), n é o nº de mols e T em kelvin.
  • Para uma mudança de fase reversível que ocorre à temperatura constante T_{\text{fase}}:
\Delta S=\frac{\Delta Q_{\text{rev}}}{T_{\text{fase}}}=\frac{\Delta H_{\text{fase}}}{T_{\text{fase}}}
onde \Delta H_{\text{fase}} é a entalpia molar da mudança de fase (J/mol).
Aplicando ao problema, as etapas e suas fórmulas:
  1. Aquecer o gelo de T_i até T_m: \displaystyle \Delta S_1 = n C_s \ln\!\left(\dfrac{T_m}{T_i}\right).
  2. Fusão a T_m: \displaystyle \Delta S_2 = n \dfrac{\Delta H_{\mathrm{fus}}}{T_m}.
  3. Aquecer a água líquida de T_m até T_b: \displaystyle \Delta S_3 = n C_{\ell} \ln\!\left(\dfrac{T_b}{T_m}\right).
  4. Vaporização a T_b: \displaystyle \Delta S_4 = n \dfrac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{T_b}.
  5. Aquecer o vapor de T_b até T_f: \displaystyle \Delta S_5 = n C_{g} \ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_b}\right).
A variação total de entropia do sistema é a soma:
\Delta S_{\text{tot}}=\Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3+\Delta S_4+\Delta S_5.

Passo 4

Calcular cada termo numericamente (usar as fórmulas e os números do enunciado). Vou mostrar cada substituição e o resultado aproximado.
  1. Aquecimento do gelo \;T_i\to T_m:
\Delta S_1 = n\,C_s \ln\!\left(\frac{T_m}{T_i}\right) =0{,}55556\cdot 37{,}800\cdot \ln\!\left(\frac{273{,}15}{263{,}15}\right).
Calcule a razão e o logaritmo:
\frac{273{,}15}{263{,}15}\approx 1{,}03802,\qquad \ln(1{,}03802)\approx 0{,}03731.
Então
\Delta S_1 \approx 0{,}55556\cdot 37{,}800\cdot 0{,}03731 \approx 0{,}78\\ \mathrm{J/K}.
  1. Fusão a T_m=273{,}15\\ \mathrm{K}:
\Delta S_2 = n\frac{\Delta H_{\mathrm{fus}}}{T_m} =0{,}55556\cdot\frac{6008}{273{,}15}.
Calcule:
\frac{6008}{273{,}15}\approx 21{,}995\\ \mathrm{J/(mol\;K)},
\Delta S_2 \approx 0{,}55556\cdot 21{,}995 \approx 12{,}22\\ \mathrm{J/K}.
  1. Aquecer a água líquida T_m\to T_b:
\Delta S_3 = n\,C_{\ell}\ln\!\left(\frac{T_b}{T_m}\right) =0{,}55556\cdot 75{,}291\cdot \ln\!\left(\frac{373{,}15}{273{,}15}\right).
Calcule a razão e o logaritmo:
\frac{373{,}15}{273{,}15}\approx 1{,}36628,\qquad \ln(1{,}36628)\approx 0{,}31200.
Então
\Delta S_3 \approx 0{,}55556\cdot 75{,}291\cdot 0{,}31200 \approx 13{,}05\\ \mathrm{J/K}.
  1. Vaporização a T_b=373{,}15\\ \mathrm{K}:
\Delta S_4 = n\frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{T_b} =0{,}55556\cdot\frac{40656}{373{,}15}.
Calcule:
\frac{40656}{373{,}15}\approx 108{,}95\\ \mathrm{J/(mol\;K)},
\Delta S_4 \approx 0{,}55556\cdot 108{,}95 \approx 60{,}53\\ \mathrm{J/K}.
  1. Aquecer o vapor T_b\to T_f:
\Delta S_5 = n\,C_{g}\ln\!\left(\frac{T_f}{T_b}\right) =0{,}55556\cdot 33{,}58\cdot \ln\!\left(\frac{388{,}15}{373{,}15}\right).
Calcule a razão e o logaritmo:
\frac{388{,}15}{373{,}15}\approx 1{,}04017,\qquad \ln(1{,}04017)\approx 0{,}03939.
Então
\Delta S_5 \approx 0{,}55556\cdot 33{,}58\cdot 0{,}03939 \approx 0{,}73\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Somar todas as contribuições para obter a variação total de entropia do sistema:
\Delta S_{\text{tot}}=\Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3+\Delta S_4+\Delta S_5.
Substituindo os valores aproximados que calculamos:
\Delta S_{\text{tot}}\approx 0{,}78+12{,}22+13{,}05+60{,}53+0{,}73 \\ \mathrm{J/K}.
Somando:
\Delta S_{\text{tot}}\approx 86{,}44\\ \mathrm{J/K}.
Comentário rápido de didática: cada termo tem interpretação física clara — os termos com \ln vêm do aquecimento reversível (troca de calor gradual, calor específico constante), e os termos \Delta H/T são as mudanças de entropia associadas às mudanças de fase feitas reversivelmente (fus˜ao e vaporização) à temperatura constante. Somando tudo obtemos a entropia total gerada/perdida pelo sistema ao passar daquele estado inicial ao final.

Resposta

86,44 J/K

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