(10,0 \mathrm{pts}) Ache os valores de x para os quais a Série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{3^{n} x^{n}}{n 2^{n}} :
(a) é absolutamente convergente;
(b) é convergente;
(c) é condicionalmente convergente.
(d) e ache sen raio de convergència
em termos de convergência absoluta, convergência (condicional ou não) e encontrar o raio de convergência. Vamos usar o teste da razão para o raio e convergência absoluta, e o teste de Leibniz para os pontos de fronteira.
Essa série converge sempre que |3x/2|<1 (é a série geradora do -\ln(1-r) ou pode ser vista pelo teste da razão/integração). Portanto a série original é absolutamente convergente para
|x|<\tfrac{2}{3}.
Passo 4
Agora avaliamos o comportamento em |x|=2/3:
Para x=2/3 temos 3x/2=1, entãoa_{n}=(-1)^{n}\frac{1^{n}}{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}.Essa é a série alternada \sum(-1)^{n}/n, que converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente (pois \sum1/n diverge). Logo é convergência condicional em x=2/3.
Para x=-2/3 temos 3x/2=-1, entãoa_{n}=(-1)^{n}\frac{(-1)^{n}}{n}=\frac{1}{n},e \sum1/ndiverge.
Passo 5
Reunindo os resultados:
(a) Convergência absoluta para \displaystyle |x|<\tfrac{2}{3}.
(b) Convergência (alguma) para \displaystyle -\tfrac{2}{3}<x<\tfrac{2}{3} (já absolutamente) e também em x=\tfrac{2}{3} (condicional). Em x=-\tfrac{2}{3} diverge.
(c) Convergência condicional apenas em x=\tfrac{2}{3}.
(d) Raio de convergênciaR=\tfrac{2}{3}.