(10,0 \mathrm{pts}) Ache os valores de x para os quais a Série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{3^{n} x^{n}}{n 2^{n}} :
(a) é absolutamente convergente;
(b) é convergente;
(c) é condicionalmente convergente.
(d) e ache sen raio de convergència

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{3^{n}x^{n}}{n\,2^{n}}
em termos de convergência absoluta, convergência (condicional ou não) e encontrar o raio de convergência. Vamos usar o teste da razão para o raio e convergência absoluta, e o teste de Leibniz para os pontos de fronteira.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral como
a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{(3x/2)^{n}}{n}.
Aplicando o teste da razão, consideramos
L=\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{|3x/2|^{\,n+1}/(n+1)}{|3x/2|^{\,n}/n} =|3x/2|\;\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =|3x/2|.
Para convergir (pelo teste da razão) precisamos de L<1, ou seja
|3x/2|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<\tfrac{2}{3}.
Logo o raio de convergência é
R=\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Para convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|a_{n}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|3x/2|^{n}}{n}.
Essa série converge sempre que |3x/2|<1 (é a série geradora do -\ln(1-r) ou pode ser vista pelo teste da razão/integração). Portanto a série original é absolutamente convergente para
|x|<\tfrac{2}{3}.

Passo 4

Agora avaliamos o comportamento em |x|=2/3:
  1. Para x=2/3 temos 3x/2=1, então a_{n}=(-1)^{n}\frac{1^{n}}{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}.Essa é a série alternada \sum(-1)^{n}/n, que converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente (pois \sum1/n diverge). Logo é convergência condicional em x=2/3.
  2. Para x=-2/3 temos 3x/2=-1, então a_{n}=(-1)^{n}\frac{(-1)^{n}}{n}=\frac{1}{n},e \sum1/n diverge.

Passo 5

Reunindo os resultados:
(a) Convergência absoluta para \displaystyle |x|<\tfrac{2}{3}.
(b) Convergência (alguma) para \displaystyle -\tfrac{2}{3}<x<\tfrac{2}{3} (já absolutamente) e também em x=\tfrac{2}{3} (condicional). Em x=-\tfrac{2}{3} diverge.
(c) Convergência condicional apenas em x=\tfrac{2}{3}.
(d) Raio de convergência R=\tfrac{2}{3}.

Resposta

(a) \displaystyle |x|<\tfrac{2}{3}.
(b) \displaystyle -\tfrac{2}{3}<x\le\tfrac{2}{3}.
(c) \displaystyle x=\tfrac{2}{3}.
(d) R=\tfrac{2}{3}.

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