Questāo 01: (1,5 ponto) Encontre o limite a seguir. Apresentar o raciocinio de forma organizada!
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(3 x^{2}+9\right)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x \rightarrow +\infty} \bigl(3x^{2}+9\bigr)^{1/x}.
Vemos que é uma forma indeterminada do tipo \infty^{0}. Para lidar com esse tipo de indeterminação, usamos o logaritmo natural.

Passo 2

Defina
y = \bigl(3x^{2}+9\bigr)^{1/x}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
\ln y = \frac{1}{x}\,\ln\bigl(3x^{2}+9\bigr).

Passo 3

Vamos avaliar o limite de \ln y:
\lim_{x\to+\infty}\ln y = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\bigl(3x^{2}+9\bigr)}{x}.

Passo 4

Para x grande, fatoramos dentro do logaritmo:
\ln\bigl(3x^{2}+9\bigr) = \ln\bigl(3x^{2}(1+3/x^{2})\bigr) = \ln 3 + 2\ln x + \ln\bigl(1+3/x^{2}\bigr).
Como \ln(1+3/x^{2})\to 0 quando x\to+\infty, temos
\frac{\ln\bigl(3x^{2}+9\bigr)}{x} = \frac{\ln 3}{x} + \frac{2\ln x}{x} + o\!\bigl(1/x\bigr) \;\longrightarrow\;0.

Passo 5

Portanto
\lim_{x\to+\infty}\ln y = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to+\infty}y = e^{0} = 1.

Resposta

1

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