(5,0 pts) Escolha um dos itens e use a série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots+x^{n}+\ldots=\frac{1}{1-x}, \quad|x|<1
para mostrar que
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n+1}=\ln (2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n+1} = \ln(2).
O conteúdo que vamos usar é a série geométrica e integração termo a termo de séries de potências.

Passo 2

Começamos pela série geométrica padrão:
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} = \frac{1}{1 - x},\quad |x|<1.
Fazendo a mudança de variável x \mapsto -x, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n} = \frac{1}{1 + x},\quad |x|<1.

Passo 3

Integramos ambos os lados em x de 0 a 1. Pela convergência uniforme em [0,1), podemos trocar soma e integral:
\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{1}x^{n}\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral de cada termo:
\int_{0}^{1}x^{n}\,dx = \frac{1}{n+1}.
Logo
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{1}x^{n}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n+1}.
Do outro lado,
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}\,dx
é a antiderivada \ln(1+x) avaliada de 0 a 1.

Passo 5

Portanto,
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n+1} = \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}\,dx = \bigl[\ln(1+x)\bigr]_{0}^{1} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2).

Resposta

\ln(2)

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