Questāo 04: (2 pontos)
Em todos os pontos de uma curva y=f(x) tem-se que y^{\prime \prime}=\cos x-\operatorname{sen} x+x^{2}. Obtenha a equaçāo da curva se ela passa pelo ponto (0,3) e a reta tangente a ela nesse ponto é perpendicular à reta y-x=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a segunda derivada
y'' = \cos x - \sin x + x^2
e as condições
– A curva passa por (0,3), isto é, y(0)=3.
– A reta tangente em x=0 é perpendicular à reta y - x = 0. Como esta tem coeficiente angular 1, a perpendicular terá coeficiente -1, logo
y'(0) = -1.
Para encontrar y, basta integrar y'' duas vezes e usar y'(0) e y(0) para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos y'' em relação a x. Sabendo que \int \cos x\,dx = \sin x, \int (-\sin x)\,dx = \cos x e \int x^2\,dx = x^3/3, obtemos
y' = \sin x + \cos x + \frac{x^3}{3} + C_1.

Passo 3

Aplicamos a condição y'(0)=-1. Avaliando em x=0:
y'(0) = \sin 0 + \cos 0 + \frac{0^3}{3} + C_1 = 0 + 1 + 0 + C_1 = 1 + C_1 = -1
Logo C_1 = -2 e
y' = \sin x + \cos x + \frac{x^3}{3} - 2.

Passo 4

Agora integramos y' para obter y. Usamos \int \sin x\,dx = -\cos x, \int \cos x\,dx = \sin x, \int \tfrac{x^3}{3}\,dx = \tfrac{x^4}{12} e \int(-2)\,dx = -2x. Assim,
y = -\cos x + \sin x + \frac{x^4}{12} - 2x + C_2.

Passo 5

Usamos y(0)=3. Avaliando em x=0:
y(0) = -\cos 0 + \sin 0 + 0 - 0 + C_2 = -1 + 0 + C_2 = 3
Logo C_2 = 4.

Resposta

A equação da curva é
y = -\cos x + \sin x + \frac{x^4}{12} - 2x + 4.

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