Questāo 04: (2 pontos)
Em todos os pontos de uma curva
tem-se que
. Obtenha a equaçāo da curva se ela passa pelo ponto
e a reta tangente a ela nesse ponto é perpendicular à reta
.
Em todos os pontos de uma curva
Passo 1
O enunciado nos dá a segunda derivada
e as condições
– A curva passa por , isto é,
.
– A reta tangente em é perpendicular à reta
. Como esta tem coeficiente angular
, a perpendicular terá coeficiente
, logo
– A curva passa por
– A reta tangente em
Para encontrar
, basta integrar
duas vezes e usar
e
para determinar as constantes de integração.
Passo 2
Integramos
em relação a
. Sabendo que
,
e
, obtemos
Passo 3
Aplicamos a condição
. Avaliando em
:
Logo
e
Passo 4
Agora integramos
para obter
. Usamos
,
,
e
. Assim,
Passo 5
Usamos
. Avaliando em
:
Logo
.
Resposta
A equação da curva é