(4,0 pts) Represente uma das seguintes integrais indefinidas como séries de potências:
\int \frac{\operatorname{sen} x}{x} dx

Passo 1

O enunciado pede para representar a integral indefinida
\int \frac{\sin x}{x}\,dx
como uma série de potências. O conteúdo envolvido é a expansão em série de Maclaurin de funções elementares e a integração termo a termo de séries convergentes.

Passo 2

Começamos pela série de Maclaurin de \sin x, que é válida para todo x:
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Para obter \sin x/x, basta dividir termo a termo por x:
\frac{\sin x}{x} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Como essa série converge para todo x, podemos integrar termo a termo:
\int \frac{\sin x}{x}\,dx = \int \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{(2n+1)!}\int x^{2n}\,dx.
Sabendo que \int x^{2n}\,dx = x^{2n+1}/(2n+1), temos
\int \frac{\sin x}{x}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!} + C.

Resposta

\boxed{\int \frac{\sin x}{x}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!} + C.}

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