10^{\mathrm{a}} Questão:

Um fio na forma da hélice \mathbf{r}(t)=\langle 2 \cos t, 2 \sin t, t\rangle, 0 \leq t \leq 2 \pi, possui densidade linear de carga \delta(x, y, z)=z. Calcule a carga total do fio.

Passo 1

O enunciado nos dá um fio na forma de hélice
\mathbf{r}(t)=\langle 2\cos t,\,2\sin t,\,t\rangle, com 0\le t\le2\pi,
e densidade linear de carga \delta(x,y,z)=z. O conteúdo é cálculo de integral de linha de uma função escalar para obter a carga total.

Passo 2

A carga total Q é dada por
Q=\int_{C}\delta\,ds
e, usando a parametrização \mathbf{r}(t), temos
Q=\int_{0}^{2\pi}\delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 3

Calculamos a derivada
\mathbf{r}'(t)=\langle -2\sin t,\,2\cos t,\,1\rangle
e seu módulo
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| =\sqrt{(-2\sin t)^2+(2\cos t)^2+1^2} =\sqrt{4\sin^2t+4\cos^2t+1} =\sqrt{5}.
Além disso,
\delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)=z=t.

Passo 4

Substituindo em Q:
Q=\int_{0}^{2\pi}t\,\sqrt{5}\,dt =\sqrt{5}\int_{0}^{2\pi}t\,dt =\sqrt{5}\,\Bigl[\tfrac{t^2}{2}\Bigr]_{0}^{2\pi} =\sqrt{5}\,\frac{(2\pi)^2}{2} =2\pi^2\sqrt{5}.

Resposta

Q=2\pi^2\sqrt{5}

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