Calcule \int_{\alpha} \vec{F} \cdot d \alpha onde \vec{F}(x, y)=\left(6 x^{5} y^{4}-5 y, 4 x^{6} y^{3}-y^{2}\right) e \alpha é a circunferência x^{2}+y^{2}=6 x orientada no sentido antihorario. 0.6

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{\alpha}\vec{F}\cdot d\alpha
onde
\vec{F}(x,y)=(6x^{5}y^{4}-5y,\;4x^{6}y^{3}-y^{2})
e \alpha é a circunferência x^{2}+y^{2}=6x orientada no sentido anti-horário.
Como \alpha é curva fechada no plano, vamos usar o Teorema de Green, que diz
\oint_{\alpha}P\,dx+Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA,
onde D é a região interior a \alpha.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=6x^{5}y^{4}-5y,\qquad Q(x,y)=4x^{6}y^{3}-y^{2}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} =24x^{5}y^{3}-5, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =24x^{5}y^{3}.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =24x^{5}y^{3}-\bigl(24x^{5}y^{3}-5\bigr) =5.

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
\oint_{\alpha}\vec{F}\cdot d\alpha =\iint_{D}5\,dA =5\iint_{D}dA =5\,\text{Área}(D).Á
A curva \alpha é dada por x^{2}+y^{2}=6x, que emcripta-se em
(x-3)^{2}+y^{2}=9,
ou seja, é um círculo de raio 3. Portanto
\text{Área}(D)=\pi\cdot3^{2}=9\piÁ
e
\oint_{\alpha}\vec{F}\cdot d\alpha =5\cdot9\pi =45\pi.

Resposta

45\pi

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