Questão:
Calcule o momento de inércia de uma barra fina de comprimento
, localizada no eixo
, com densidade linear
, em relação a um eixo perpendicular passando pelo centro da barra.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de uma barra fina de comprimento
sobre o eixo
, cuja densidade linear varia conforme
, em relação a um eixo perpendicular ao
que passa pelo centro da barra. Vamos usar o conceito de momento de inércia para um objeto contínuo
onde
é a distância de cada elemento de massa
ao eixo de rotação e
.
Passo 2
Escolhemos a origem em uma das extremidades da barra, de modo que ela vai de
até
. O eixo de rotação fica no ponto
, logo a distância de um elemento em
ao eixo é
Também temos
Portanto,
Passo 3
Expandimos o integrando:
Assim,
Passo 4
Calculamos cada integral separadamente:
Logo,
Passo 5
Somando os coeficientes:
Portanto