8^{\mathrm{a}} Questão:

Calcule o momento de inércia de uma barra fina de comprimento L, localizada no eixo x, com densidade linear \delta(x)=k x, em relação a um eixo perpendicular passando pelo centro da barra.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma barra fina de comprimento L sobre o eixo x, cuja densidade linear varia conforme \delta(x)=k\,x, em relação a um eixo perpendicular ao x que passa pelo centro da barra. Vamos usar o conceito de momento de inércia para um objeto contínuo
I = \int r^{2}\,dm
onde r é a distância de cada elemento de massa dm ao eixo de rotação e dm=\delta(x)\,dx.

Passo 2

Escolhemos a origem em uma das extremidades da barra, de modo que ela vai de x=0 até x=L. O eixo de rotação fica no ponto x=L/2, logo a distância de um elemento em x ao eixo é
r = x - \frac{L}{2}.
Também temos
dm = \delta(x)\,dx = k\,x\,dx.
Portanto,
I = \int_{0}^{L} \bigl(x - \tfrac{L}{2}\bigr)^{2}\,k\,x\,dx.

Passo 3

Expandimos o integrando:
\bigl(x - \tfrac{L}{2}\bigr)^{2}\,x = \bigl(x^{2} - L\,x + \tfrac{L^{2}}{4}\bigr)\,x = x^{3} - L\,x^{2} + \tfrac{L^{2}}{4}\,x.
Assim,
I = k\int_{0}^{L}\bigl(x^{3} - L\,x^{2} + \tfrac{L^{2}}{4}\,x\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos cada integral separadamente:
\int_{0}^{L}x^{3}\,dx = \frac{L^{4}}{4},\quad \int_{0}^{L}x^{2}\,dx = \frac{L^{3}}{3},\quad \int_{0}^{L}x\,dx = \frac{L^{2}}{2}.
Logo,
I = k\Bigl[\frac{L^{4}}{4} - L\cdot\frac{L^{3}}{3} + \frac{L^{2}}{4}\cdot\frac{L^{2}}{2}\Bigr] = k\,L^{4}\Bigl(\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{8}\Bigr).

Passo 5

Somando os coeficientes:
\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{8} = \frac{6 - 8 + 3}{24} = \frac{1}{24}.
Portanto
I = \frac{k\,L^{4}}{24}.

Resposta

I = \frac{k\,L^{4}}{24}.

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