Calcule \iint_{\Omega}\left(\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d A, e \Omega=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1, y \geq 0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{\Omega}\bigl(\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} \;-\;\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)\,dA,
onde \Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le1,\;y\ge0\}.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares e cálculo de integrais radiais.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta,
e o semicírculo virá
0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le\pi.
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I=\iint_{\Omega}\bigl(\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} - \sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)\,dA =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{1 - r^{2}} - r\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Separamos em duas partes e fatoramos a integração em \theta:
I =\int_{0}^{\pi}d\theta\;\Bigl(\int_{0}^{1}r\sqrt{1 - r^{2}}\,dr \;-\;\int_{0}^{1}r^{2}\,dr\Bigr) =\pi\Bigl(\int_{0}^{1}r\sqrt{1 - r^{2}}\,dr - \int_{0}^{1}r^{2}\,dr\Bigr).

Passo 4

Calculamos a primeira integral radial por substituição u=1-r^{2}, du=-2r\,dr:
\int_{0}^{1}r\sqrt{1 - r^{2}}\,dr =\int_{u=1}^{0}\sqrt{u}\,\Bigl(-\tfrac12\,du\Bigr) =\tfrac12\int_{0}^{1}u^{\tfrac12}du =\tfrac12\cdot\tfrac{2}{3} =\tfrac{1}{3}.

Passo 5

A segunda integral é imediata:
\int_{0}^{1}r^{2}\,dr =\Bigl[\tfrac{r^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Como ambas deram \tfrac13, temos
I =\pi\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3}\Bigr) =0.

Resposta

0

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