Uma partícula se move segundo a equação: r(t)=\left\langle t^{2}, t^{3}, \ln t\right\rangle
Encontre:
a) O vetor velocidade e a velocidade escalar da partícula em qualquer instante t>0.
b) O vetor tangente unitário e a equação do plano normal à curva no ponto P(1,1,0).
c) O vetor normal unitário e a equação do plano retificante no ponto P(1,1,0).
d) O vetor binormal unitário e a equação do plano osculante no ponto P(1,1,0).
e pede:
– (a) o vetor velocidade v(t) e a velocidade escalar \|v(t)\|;
– (b) o vetor tangente unitário T e a equação do plano normal no ponto P(1,1,0);
– (c) o vetor normal unitário N e a equação do plano retificador em P;
– (d) o vetor binormal unitário B e a equação do plano osculador em P.
Para isso vamos usar derivação de funções vetoriais, normalização e o triêdrico de Frenet.
(a) v(t)=\langle 2t,3t^{2},t^{-1}\rangle,\;\|v(t)\|=\sqrt{4t^{2}+9t^{4}+t^{-2}}.
(b) T(1)=\tfrac{1}{\sqrt{14}}\langle2,3,1\rangle; plano normal 2x+3y+z-5=0.
(c) N(1)=\tfrac{1}{\sqrt{38}}\langle-2,3,-5\rangle; plano retificador 2x-3y+5z+1=0.
(d) B(1)=\tfrac{1}{\sqrt{133}}\langle-9,4,6\rangle; plano osculador 9x-4y-6z-5=0.