1{ }^{\text {a }} Questão:

Uma partícula se move segundo a equação:
r(t)=\left\langle t^{2}, t^{3}, \ln t\right\rangle

Encontre:

a) O vetor velocidade e a velocidade escalar da partícula em qualquer instante t>0.
b) O vetor tangente unitário e a equação do plano normal à curva no ponto P(1,1,0).
c) O vetor normal unitário e a equação do plano retificante no ponto P(1,1,0).
d) O vetor binormal unitário e a equação do plano osculante no ponto P(1,1,0).

Passo 1

O enunciado trata de uma curva paramétrica
r(t)=\langle t^{2},\,t^{3},\,\ln t\rangle,\quad t>0
e pede:
– (a) o vetor velocidade v(t) e a velocidade escalar \|v(t)\|;
– (b) o vetor tangente unitário T e a equação do plano normal no ponto P(1,1,0);
– (c) o vetor normal unitário N e a equação do plano retificador em P;
– (d) o vetor binormal unitário B e a equação do plano osculador em P.
Para isso vamos usar derivação de funções vetoriais, normalização e o triêdrico de Frenet.

Passo 2

(a) O vetor velocidade é
v(t)=r'(t)=\bigl\langle 2t,\;3t^{2},\;t^{-1}\bigr\rangle
e a velocidade escalar é
\|v(t)\|=\sqrt{(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}+(t^{-1})^{2}} =\sqrt{4t^{2}+9t^{4}+t^{-2}}\,.

Passo 3

(b) Primeiro achamos t_{0} tal que r(t_{0})=P(1,1,0). Da primeira coordenada t_{0}^{2}=1 e t_{0}>0 t_{0}=1.
v(1)=\langle 2,3,1\rangle,\qquad \|v(1)\|=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14},
logo o tangente unitário em t=1 é
T(1)=\frac{1}{\sqrt{14}}\langle 2,3,1\rangle.
O plano normal tem normal igual a T(1) e passa por P(1,1,0), então sua equação é
2(x-1)+3(y-1)+1\,(z-0)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x+3y+z-5=0.

Passo 4

(c) Para o normal unitário usamos
N(t)=\frac{dT/dt}{\bigl\|dT/dt\bigr\|}.
Calculando em t=1 por derivadas diretas, obtém-se
N(1)=\frac{1}{\sqrt{38}}\langle -2,\,3,\,-5\rangle.
O plano retificador contém T e B, portanto sua normal é N(1). A equação em P é
-2\,(x-1)+3\,(y-1)-5\,(z-0)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x-3y+5z+1=0.

Passo 5

(d) O binormal é
B(1)=T(1)\times N(1) =\frac{1}{\sqrt{14}\,\sqrt{38}}\bigl\langle 2,3,1\bigr\rangle \times\langle -2,3,-5\rangle =\frac{1}{\sqrt{133}}\langle -9,4,6\rangle.
O plano osculador contém T e N, logo sua normal é B(1). Sua equação em P é
-9\,(x-1)+4\,(y-1)+6\,(z-0)=0 \quad\Longrightarrow\quad 9x-4y-6z-5=0.

Resposta

(a) v(t)=\langle 2t,3t^{2},t^{-1}\rangle,\;\|v(t)\|=\sqrt{4t^{2}+9t^{4}+t^{-2}}.
(b) T(1)=\tfrac{1}{\sqrt{14}}\langle2,3,1\rangle; plano normal 2x+3y+z-5=0.
(c) N(1)=\tfrac{1}{\sqrt{38}}\langle-2,3,-5\rangle; plano retificador 2x-3y+5z+1=0.
(d) B(1)=\tfrac{1}{\sqrt{133}}\langle-9,4,6\rangle; plano osculador 9x-4y-6z-5=0.

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