3.10 A média temporal de uma função em um intervalo T é dada por \langle f(t)\rangle=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}
onde t^{\prime} é apenas uma variável auxiliar.
Se T=2 \pi / \omega é o período de uma função harmônica, mostre que \left\langle\sin ^{2}(k x-\omega t)\right\rangle=\frac{1}{2} \left\langle\cos ^{2}(k x-\omega t)\right\rangle=\frac{1}{2}
e \langle\sin (k x-\omega t) \cos (k x-\omega t)\rangle=0
quando T=2 \pi / \omega e quando T \gg 2 \pi / \omega 。
onde t' é uma variável de integração. Tem-se uma função harmônica cujo argumento é k x-\omega t e o período temporal é T=\dfrac{2\pi}{\omega}. O que o enunciado pede:
Mostrar que \left\langle\sin^{2}(k x-\omega t)\right\rangle=\dfrac{1}{2} quando T=\dfrac{2\pi}{\omega} e também quando T\gg \dfrac{2\pi}{\omega}.
Mostrar que \left\langle\cos^{2}(k x-\omega t)\right\rangle=\dfrac{1}{2} nas mesmas condições.
Mostrar que \langle\sin(k x-\omega t)\cos(k x-\omega t)\rangle=0 nas mesmas condições.
Informações relevantes dadas:
A média é feita no tempo, em um intervalo de comprimento T.
O argumento da função trigonométrica é \theta(t')=kx-\omega t', em que kx é constante durante a integração em t'.
O período temporal da oscilação é T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
Passo 2
Estratégia básica (sem resolver ainda): usar identidades trigonométricas simples para transformar quadrados e produtos em termos de funções trigonométricas de dupla frequência. Essas identidades tornam a média fácil, porque as médias temporais de termos oscilantes (coseno ou seno de frequência não nula) sobre um inteiro número de períodos dão zero. Vou apresentar e justificar as identidades que vou usar.
Identidades que usaremos (e suas justificativas rápidas):
\sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}. Isso vem de \cos(2\theta)=1-2\sin^{2}\theta, que é uma identidade trigonométrica padrão (pode ser obtida aplicando a fórmula do cosseno da soma).
\cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}. Vem de \cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1.
\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{2}\sin(2\theta). Vem da fórmula do seno da soma: \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Vou aplicar essas identidades com \theta(t')=k x-\omega t' e calcular as médias usando integrais elementares.
Passo 3
Cálculo de \left\langle\sin^{2}(k x-\omega t)\right\rangle.
Se T é muito maior que \dfrac{1}{\omega} (ou seja T\gg \dfrac{2\pi}{\omega}), esse termo fica muito pequeno e tende a zero quando T\to\infty. Assim, para T\gg \dfrac{2\pi}{\omega},
Para T\gg \dfrac{2\pi}{\omega} o termo com a integral é pequeno por ser limitado dividido por T, de modo que a média aproxima-se de \dfrac{1}{2} e no limite extenso é exatamente \dfrac{1}{2}.
Passo 5
Cálculo de \langle\sin(k x-\omega t)\cos(k x-\omega t)\rangle.
que tende a zero quando T é muito grande. Portanto para T\gg\dfrac{2\pi}{\omega} a média também é (praticamente) zero, e no limite T\to\infty é exatamente zero.
Passo 6
Resumo didático e intuição rápida (para a prova):
Quadrados de seno e cosseno de uma oscilação têm uma componente constante 1/2 mais uma oscilação de frequência dupla; a parte oscilante tem média zero sobre um período inteiro, deixando só 1/2.
O produto seno·cosseno é um seno de dupla frequência multiplicado por 1/2; sua média sobre a(s) período(s) é zero.
Formalmente, para T=\dfrac{2\pi}{\omega} a integral dos termos oscilantes é exatamente zero porque integra-se uma função seno ou cosseno ao longo de um número inteiro de seus períodos. Para T\gg\dfrac{2\pi}{\omega} o mesmo resultado vale na prática porque a contribuição oscilante fica limitada e é dividida por um T grande (tende a zero).
Força aí — essas identidades e esse tipo de cálculo são padrões em prova: decorar as identidades e saber transformar em termos de dupla frequência salva tempo.