3.10 A média temporal de uma função em um intervalo T é dada por
\langle f(t)\rangle=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}
onde t^{\prime} é apenas uma variável auxiliar.
Se T=2 \pi / \omega é o período de uma função harmônica, mostre que
\left\langle\sin ^{2}(k x-\omega t)\right\rangle=\frac{1}{2}
\left\langle\cos ^{2}(k x-\omega t)\right\rangle=\frac{1}{2}
e
\langle\sin (k x-\omega t) \cos (k x-\omega t)\rangle=0
quando T=2 \pi / \omega e quando T \gg 2 \pi / \omega

Passo 1

O enunciado dá a definição de média temporal
\langle f(t)\rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t')\,dt',
onde t' é uma variável de integração. Tem-se uma função harmônica cujo argumento é k x-\omega t e o período temporal é T=\dfrac{2\pi}{\omega}. O que o enunciado pede:
  • Mostrar que \left\langle\sin^{2}(k x-\omega t)\right\rangle=\dfrac{1}{2} quando T=\dfrac{2\pi}{\omega} e também quando T\gg \dfrac{2\pi}{\omega}.
  • Mostrar que \left\langle\cos^{2}(k x-\omega t)\right\rangle=\dfrac{1}{2} nas mesmas condições.
  • Mostrar que \langle\sin(k x-\omega t)\cos(k x-\omega t)\rangle=0 nas mesmas condições.
Informações relevantes dadas:
  • A média é feita no tempo, em um intervalo de comprimento T.
  • O argumento da função trigonométrica é \theta(t')=kx-\omega t', em que kx é constante durante a integração em t'.
  • O período temporal da oscilação é T=\dfrac{2\pi}{\omega}.

Passo 2

Estratégia básica (sem resolver ainda): usar identidades trigonométricas simples para transformar quadrados e produtos em termos de funções trigonométricas de dupla frequência. Essas identidades tornam a média fácil, porque as médias temporais de termos oscilantes (coseno ou seno de frequência não nula) sobre um inteiro número de períodos dão zero. Vou apresentar e justificar as identidades que vou usar.
Identidades que usaremos (e suas justificativas rápidas):
  • \sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}. Isso vem de \cos(2\theta)=1-2\sin^{2}\theta, que é uma identidade trigonométrica padrão (pode ser obtida aplicando a fórmula do cosseno da soma).
  • \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}. Vem de \cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1.
  • \sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{2}\sin(2\theta). Vem da fórmula do seno da soma: \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Vou aplicar essas identidades com \theta(t')=k x-\omega t' e calcular as médias usando integrais elementares.

Passo 3

Cálculo de \left\langle\sin^{2}(k x-\omega t)\right\rangle.
Aplicando a identidade:
\sin^{2}(k x-\omega t')=\frac{1-\cos\bigl(2(kx-\omega t')\bigr)}{2}.
Substituindo na média:
\left\langle\sin^{2}(k x-\omega t)\right\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{1-\cos\bigl(2(kx-\omega t')\bigr)}{2}\,dt' =\frac{1}{2}-\frac{1}{2T}\int_{0}^{T}\cos\bigl(2(kx-\omega t')\bigr)\,dt'.
Agora calculo a integral do cosseno. Uma primitiva válida é
\int \cos\bigl(2(kx-\omega t')\bigr)\,dt' = -\frac{1}{2\omega}\sin\bigl(2(kx-\omega t')\bigr)+C,
porque \dfrac{d}{dt'}\bigl[-\tfrac{1}{2\omega}\sin(2(kx-\omega t'))\bigr]=\cos(2(kx-\omega t')).
A integral definida é então
\int_{0}^{T}\cos\bigl(2(kx-\omega t')\bigr)\,dt' =-\frac{1}{2\omega}\Bigl[\sin\bigl(2(kx-\omega T)\bigr)-\sin\bigl(2kx\bigr)\Bigr].
Avaliação para T=\dfrac{2\pi}{\omega}: substituir T
2(kx-\omega T)=2kx-2\omega\cdot\frac{2\pi}{\omega}=2kx-4\pi.
Como \sin(2kx-4\pi)=\sin(2kx) (seno tem período 2\pi), o colchete fica \sin(2kx)-\sin(2kx)=0. Logo a integral é zero e
\left\langle\sin^{2}(k x-\omega t)\right\rangle=\frac{1}{2}.
Para T\gg \dfrac{2\pi}{\omega}: a expressão exata da integral pode ser escrita como
\int_{0}^{T}\cos\bigl(2(kx-\omega t')\bigr)\,dt'=-\frac{1}{2\omega}\Bigl[\sin\bigl(2kx-2\omega T\bigr)-\sin(2kx)\Bigr].
O numerador (a diferença de senos) é sempre limitada em magnitude por 2. Portanto o termo adicional na média tem magnitude no máximo
\left|\frac{1}{2T}\int_{0}^{T}\cos(\dots)\,dt'\right|\le \frac{1}{2T}\cdot\frac{2}{2\omega}=\frac{1}{2T\omega}.
Se T é muito maior que \dfrac{1}{\omega} (ou seja T\gg \dfrac{2\pi}{\omega}), esse termo fica muito pequeno e tende a zero quando T\to\infty. Assim, para T\gg \dfrac{2\pi}{\omega},
\left\langle\sin^{2}(k x-\omega t)\right\rangle\approx\frac{1}{2},
e no limite exato T\to\infty a igualdade é \dfrac{1}{2}.

Passo 4

Cálculo de \left\langle\cos^{2}(k x-\omega t)\right\rangle.
Usando a identidade:
\cos^{2}(k x-\omega t')=\frac{1+\cos\bigl(2(kx-\omega t')\bigr)}{2}.
Aplicando a média:
\left\langle\cos^{2}(k x-\omega t)\right\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{1+\cos\bigl(2(kx-\omega t')\bigr)}{2}\,dt' =\frac{1}{2}+\frac{1}{2T}\int_{0}^{T}\cos\bigl(2(kx-\omega t')\bigr)\,dt'.
Mas já calculámos a integral do cosseno no passo anterior. Para T=\dfrac{2\pi}{\omega} ela é zero, então
\left\langle\cos^{2}(k x-\omega t)\right\rangle=\frac{1}{2}.
Para T\gg \dfrac{2\pi}{\omega} o termo com a integral é pequeno por ser limitado dividido por T, de modo que a média aproxima-se de \dfrac{1}{2} e no limite extenso é exatamente \dfrac{1}{2}.

Passo 5

Cálculo de \langle\sin(k x-\omega t)\cos(k x-\omega t)\rangle.
Usar a identidade de produto:
\sin(kx-\omega t')\cos(kx-\omega t')=\frac{1}{2}\sin\bigl(2(kx-\omega t')\bigr).
Então
\langle\sin(k x-\omega t)\cos(k x-\omega t)\rangle =\frac{1}{2T}\int_{0}^{T}\sin\bigl(2(kx-\omega t')\bigr)\,dt'.
Uma primitiva é
\int \sin\bigl(2(kx-\omega t')\bigr)\,dt' = -\frac{1}{2\omega}\cos\bigl(2(kx-\omega t')\bigr)+C,
pois a derivada de -\dfrac{1}{2\omega}\cos(2(kx-\omega t')) é \sin(2(kx-\omega t')).
A integral definida vale
\int_{0}^{T}\sin\bigl(2(kx-\omega t')\bigr)\,dt' = -\frac{1}{2\omega}\Bigl[\cos\bigl(2(kx-\omega T)\bigr)-\cos(2kx)\Bigr].
Para T=\dfrac{2\pi}{\omega} temos \cos(2(kx-\omega T))=\cos(2kx-4\pi)=\cos(2kx), portanto o colchete é zero e a integral é zero. Assim
\langle\sin(k x-\omega t)\cos(k x-\omega t)\rangle=0
quando T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
Para T\gg \dfrac{2\pi}{\omega} a diferença de cossenos é limitada por 2, e o termo na média tem magnitude no máximo
\left|\frac{1}{2T}\int_{0}^{T}\sin(\dots)\,dt'\right|\le \frac{1}{2T}\cdot\frac{2}{2\omega}=\frac{1}{2T\omega},
que tende a zero quando T é muito grande. Portanto para T\gg\dfrac{2\pi}{\omega} a média também é (praticamente) zero, e no limite T\to\infty é exatamente zero.

Passo 6

Resumo didático e intuição rápida (para a prova):
  • Quadrados de seno e cosseno de uma oscilação têm uma componente constante 1/2 mais uma oscilação de frequência dupla; a parte oscilante tem média zero sobre um período inteiro, deixando só 1/2.
  • O produto seno·cosseno é um seno de dupla frequência multiplicado por 1/2; sua média sobre a(s) período(s) é zero.
  • Formalmente, para T=\dfrac{2\pi}{\omega} a integral dos termos oscilantes é exatamente zero porque integra-se uma função seno ou cosseno ao longo de um número inteiro de seus períodos. Para T\gg\dfrac{2\pi}{\omega} o mesmo resultado vale na prática porque a contribuição oscilante fica limitada e é dividida por um T grande (tende a zero).
Força aí — essas identidades e esse tipo de cálculo são padrões em prova: decorar as identidades e saber transformar em termos de dupla frequência salva tempo.

Resposta

\left\langle\sin^{2}(k x-\omega t)\right\rangle=\dfrac{1}{2}
\left\langle\cos^{2}(k x-\omega t)\right\rangle=\dfrac{1}{2}
\langle\sin(k x-\omega t)\cos(k x-\omega t)\rangle=0

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