3.60 campo elétrico de uma onda eletromagnética que se propaga na direção positiva de
é dad por
(a)Descreva o campo verbalmente.
(b)Determine uma expressão para o campo magnético correspondente。
(c)Determine a velocidade de fase da onda.
(a)Descreva o campo verbalmente.
(b)Determine uma expressão para o campo magnético correspondente。
(c)Determine a velocidade de fase da onda.
Passo 1
O enunciado fornece o campo elétrico de uma onda eletromagnética que se propaga na direção positiva de
:
As perguntas são:
(a) Descrever verbalmente o campo dado (o que ele faz, direção de oscilação, direção de propagação, amplitude, etc.).
(b) Determinar uma expressão para o campo magnético correspondente.
(c) Determinar a velocidade de fase da onda.
(a) Descrever verbalmente o campo dado (o que ele faz, direção de oscilação, direção de propagação, amplitude, etc.).
(b) Determinar uma expressão para o campo magnético correspondente.
(c) Determinar a velocidade de fase da onda.
Informações relevantes que já estão no enunciado:
- Amplitude elétrica:
(constante). - Dependência espacial e temporal através do argumento de fase
. - Número de onda:
. - frequência angular:
. - O campo elétrico tem apenas componente na direção
(ou seja, é polarizado linearmente em ).
Não há outros dados numéricos; todas as respostas serão em termos de, e (e constantes físicas se necessário).
Passo 2
Entendendo e descrevendo a forma
.
O que significa cada termo (em linguagem clara):
-
é a amplitude máxima do campo elétrico; o campo oscila entre e . - O argumento da senoide é
. Isso é chamado de fase. Para um valor fixo da fase (por exemplo constante), temos
Isto mostra que superfícies de fase (frentes de onda) se deslocam na direção positiva de
com velocidade
. Portanto a onda se propaga para
.
- O número de onda
está relacionado ao comprimento de onda por
- A frequência (ciclos por segundo) é
.
Descrição verbal compacta e amigável:
- É uma onda plana sinusoidal, linearmente polarizada na direção
(o vetor elétrico oscila apenas no eixo ), com amplitude , que se desloca na direção positiva de . A fase se move com velocidade de fase . A cada ponto fixo o campo oscila no tempo com frequência angular .
Passo 3
Encontrando o campo magnético correspondente: ideia geral e regras de ouro.
Regras básicas (memorizadas como “mapa” prático):
- Em uma onda eletromagnética plana no vácuo,
, e o vetor de propagação são mutuamente perpendiculares e formam um conjunto dextrógiro (regra da mão direita): . - A magnitude das amplitudes está relacionada por
onde
. No vácuo isto vira
com
.
- Uma forma vetorial compacta útil (para onda viajando em direção
) é
Agora vamos aplicar isso com cuidado e mostrando os passos através de Maxwell (para ficar rigoroso e ganhar confiança na fórmula).
Passo 4
Derivação do campo magnético a partir de uma equação de Maxwell (passo a passo).
Em vácuo, uma das equações de Maxwell é a Lei de Faraday:
Escrevemos o campo elétrico vetorial correspondente ao enunciado:
Calculemos
. Para um campo que depende só de
e tem só componente
, a única componente não-nula do rotacional é a componente
:
Como
, obtemos
Pela Lei de Faraday:
Supondo que
seja uma onda da mesma forma (mesma fase), escrevemos
(a direção
é a única compatível com a regra direita:
). Agora calculamos
:
Comparando com o rotacional de
:
As funções trigonométricas (
) coincidem (não estão identicamente nulas), logo os coeficientes devem ser iguais:
Lembrando que
, obtemos a amplitude magnética em termos da velocidade de fase:
Portanto uma expressão para o campo magnético (vetorial) é
Em vácuo, onde
, isso se torna
Observação física e direção: escolhemos o sinal positivo para
porque com
em
e
em
temos
, ou seja a energia/prog. de onda aponta para
, coerente com o argumento
.
Passo 5
Resumo conceitual rápido sobre como lembrar e aplicar isso na prova:
- Identifica-se direção de oscilação de
(aqui ) e direção de propagação (aqui porque argumento ). - Usa-se a regra da mão direita para achar a direção de
(aqui ). - Usa-se a Lei de Faraday (ou a relação
) para achar a amplitude. - Lembre:
, , e (em vácuo ).
Resposta
(a) O campo é uma onda plana senoidal de amplitude
, polarizada linearmente na direção
(oscila apenas em
), que se propaga na direção positiva de
(frentes de fase movem-se com velocidade
); o comprimento de onda é
e a frequência é
.
(b) (em vácuo
).
(c) (em vácuo
).
(b)
(c)