3.60 campo elétrico de uma onda eletromagnética que se propaga na direção positiva de x é dad por
E_{y}=E_{0} \sin (k x-\omega t)
(a)Descreva o campo verbalmente.
(b)Determine uma expressão para o campo magnético correspondente。
(c)Determine a velocidade de fase da onda.

Passo 1

O enunciado fornece o campo elétrico de uma onda eletromagnética que se propaga na direção positiva de x:
E_{y}=E_{0}\sin(kx-\omega t).
As perguntas são:
(a) Descrever verbalmente o campo dado (o que ele faz, direção de oscilação, direção de propagação, amplitude, etc.).
(b) Determinar uma expressão para o campo magnético correspondente.
(c) Determinar a velocidade de fase da onda.
Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • Amplitude elétrica: E_{0} (constante).
  • Dependência espacial e temporal através do argumento de fase kx-\omega t.
  • Número de onda: k.
  • frequência angular: \omega.
  • O campo elétrico tem apenas componente na direção y (ou seja, é polarizado linearmente em y).
    Não há outros dados numéricos; todas as respostas serão em termos de E_{0}, k e \omega (e constantes físicas se necessário).

Passo 2

Entendendo e descrevendo a forma \,E_{y}=E_{0}\sin(kx-\omega t)\,.
O que significa cada termo (em linguagem clara):
  • \,E_{0}\, é a amplitude máxima do campo elétrico; o campo oscila entre -E_{0} e +E_{0}.
  • O argumento da senoide é \,kx-\omega t. Isso é chamado de fase. Para um valor fixo da fase (por exemplo kx-\omega t=\phi_0 constante), temos
kx-\omega t=\text{const} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\omega}{k}t+\text{const}.
Isto mostra que superfícies de fase (frentes de onda) se deslocam na direção positiva de x com velocidade \omega/k. Portanto a onda se propaga para +x.
  • O número de onda \,k\, está relacionado ao comprimento de onda \lambda por
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
  • A frequência (ciclos por segundo) é \,f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
Descrição verbal compacta e amigável:
  • É uma onda plana sinusoidal, linearmente polarizada na direção y (o vetor elétrico oscila apenas no eixo y), com amplitude E_{0}, que se desloca na direção positiva de x. A fase se move com velocidade de fase \omega/k. A cada ponto fixo x o campo oscila no tempo com frequência angular \omega.

Passo 3

Encontrando o campo magnético correspondente: ideia geral e regras de ouro.
Regras básicas (memorizadas como “mapa” prático):
  • Em uma onda eletromagnética plana no vácuo, \mathbf{E}, \mathbf{B} e o vetor de propagação \hat{k} são mutuamente perpendiculares e formam um conjunto dextrógiro (regra da mão direita): \hat{k} = \hat{E}\times\hat{B}.
  • A magnitude das amplitudes está relacionada por
B_0=\frac{E_0}{v_{\text{fase}}},
onde v_{\text{fase}}=\omega/k. No vácuo isto vira B_0=E_0/c com c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}.
  • Uma forma vetorial compacta útil (para onda viajando em direção \hat{k}) é
\mathbf{B}=\frac{1}{v_{\text{fase}}}\,\hat{k}\times\mathbf{E}.
Agora vamos aplicar isso com cuidado e mostrando os passos através de Maxwell (para ficar rigoroso e ganhar confiança na fórmula).

Passo 4

Derivação do campo magnético a partir de uma equação de Maxwell (passo a passo).
Em vácuo, uma das equações de Maxwell é a Lei de Faraday:
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
Escrevemos o campo elétrico vetorial correspondente ao enunciado:
\mathbf{E}(x,t)=E_{0}\sin(kx-\omega t)\,\hat{y}.
Calculemos \nabla\times\mathbf{E}. Para um campo que depende só de x e tem só componente y, a única componente não-nula do rotacional é a componente z:
(\nabla\times\mathbf{E})_{z}=\frac{\partial E_{y}}{\partial x}.
Como \partial_{x}\sin(kx-\omega t)=k\cos(kx-\omega t), obtemos
\nabla\times\mathbf{E}=kE_{0}\cos(kx-\omega t)\,\hat{z}.
Pela Lei de Faraday:
kE_{0}\cos(kx-\omega t)\,\hat{z}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
Supondo que \mathbf{B} seja uma onda da mesma forma (mesma fase), escrevemos \mathbf{B}=B_{0}\sin(kx-\omega t)\,\hat{z} (a direção z é a única compatível com a regra direita: y\times z = x). Agora calculamos -\partial\mathbf{B}/\partial t:
-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=-\big(-\omega B_{0}\cos(kx-\omega t)\big)\,\hat{z}=\omega B_{0}\cos(kx-\omega t)\,\hat{z}.
Comparando com o rotacional de \mathbf{E}:
kE_{0}\cos(kx-\omega t)=\omega B_{0}\cos(kx-\omega t).
As funções trigonométricas ( \cos) coincidem (não estão identicamente nulas), logo os coeficientes devem ser iguais:
\omega B_{0}=kE_{0}\quad\Rightarrow\quad B_{0}=\frac{k}{\omega}E_{0}.
Lembrando que \dfrac{k}{\omega}=\dfrac{1}{\omega/k}=\dfrac{1}{v_{\text{fase}}}, obtemos a amplitude magnética em termos da velocidade de fase:
B_{0}=\frac{E_{0}}{v_{\text{fase}}}.
Portanto uma expressão para o campo magnético (vetorial) é
\mathbf{B}(x,t)=\frac{k}{\omega}E_{0}\sin(kx-\omega t)\,\hat{z}.
Em vácuo, onde v_{\text{fase}}=c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}, isso se torna
\mathbf{B}(x,t)=\frac{E_{0}}{c}\sin(kx-\omega t)\,\hat{z}.
Observação física e direção: escolhemos o sinal positivo para \hat{z} porque com \mathbf{E} em \hat{y} e \mathbf{B} em \hat{z} temos \mathbf{E}\times\mathbf{B}=E_{y}B_{z}\,(\hat{y}\times\hat{z})=E_{y}B_{z}\,\hat{x}, ou seja a energia/prog. de onda aponta para +x, coerente com o argumento kx-\omega t.

Passo 5

Resumo conceitual rápido sobre como lembrar e aplicar isso na prova:
  • Identifica-se direção de oscilação de \mathbf{E} (aqui y) e direção de propagação (aqui +x porque argumento kx-\omega t).
  • Usa-se a regra da mão direita para achar a direção de \mathbf{B} (aqui z).
  • Usa-se a Lei de Faraday (ou a relação B_{0}=E_{0}/v_{\text{fase}}) para achar a amplitude.
  • Lembre: \lambda=2\pi/k, f=\omega/2\pi, e v_{\text{fase}}=\omega/k (em vácuo =c).

Resposta

(a) O campo é uma onda plana senoidal de amplitude E_{0}, polarizada linearmente na direção y (oscila apenas em y), que se propaga na direção positiva de x (frentes de fase movem-se com velocidade \omega/k); o comprimento de onda é \lambda=2\pi/k e a frequência é f=\omega/2\pi.
(b) \displaystyle \mathbf{B}(x,t)=\frac{k}{\omega}E_{0}\sin(kx-\omega t)\,\hat{z} (em vácuo \displaystyle \mathbf{B}(x,t)=\frac{E_{0}}{c}\sin(kx-\omega t)\,\hat{z}).
(c) \displaystyle v_{\text{fase}}=\frac{\omega}{k} (em vácuo v_{\text{fase}}=c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}).

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