10 medições de PH da água de um lago em diferentes períodos resultaram em
e
. Determine intervalos de confiança a
para
e a
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre 10 medições de pH da água de um lago em diferentes períodos. A gente tem a soma dessas medições, que é 46,1, e a soma dos quadrados dessas medições, que é 220,81. O que precisamos fazer aqui é encontrar intervalos de confiança para a média (
) com 95% de confiança e para a variância (
) com 99% de confiança. Vamos usar conceitos de estatística, como média amostral, desvio padrão e distribuições t e qui-quadrado, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média amostral (
). A média é simplesmente a soma das medições dividida pelo número de medições. Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a variância amostral (
). A variância mede o quanto as medições estão espalhadas em relação à média. A fórmula para a variância amostral é:
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
Agora, substituímos na fórmula da variância:
Passo 4
Com a média amostral e a variância calculadas, vamos determinar o intervalo de confiança para
com 95% de confiança. Como a amostra é pequena (n=10) e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t de Student.
A fórmula do intervalo de confiança é:
Aqui,
para um intervalo de 95%, e
graus de liberdade. Vamos encontrar o valor crítico
na tabela t, que é aproximadamente 2,262.
Agora, calculamos o erro padrão:
Então, o intervalo de confiança fica:
Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de confiança para a variância
com 99% de confiança. Para isso, usamos a distribuição qui-quadrado (
).
A fórmula do intervalo de confiança é:
Aqui,
para um intervalo de 99%, e novamente
graus de liberdade. Procurando na tabela qui-quadrado:
Agora, calculamos os limites:
Então, o intervalo de confiança para
é:
Resposta
Intervalo de confiança para
com 95% de confiança: (3,924; 5,296).
Intervalo de confiança para
com 99% de confiança: (0,351; 3,070).