10 medições de PH da água de um lago em diferentes períodos resultaram em sumi=1^10 xi=46,1 e sumi=1^10 xi^2=220,81. Determine intervalos de confiança a 95 % para mu e a 99 % para sigma^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre 10 medições de pH da água de um lago em diferentes períodos. A gente tem a soma dessas medições, que é 46,1, e a soma dos quadrados dessas medições, que é 220,81. O que precisamos fazer aqui é encontrar intervalos de confiança para a média ( mu) com 95% de confiança e para a variância ( sigma^2) com 99% de confiança. Vamos usar conceitos de estatística, como média amostral, desvio padrão e distribuições t e qui-quadrado, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral ( barx). A média é simplesmente a soma das medições dividida pelo número de medições. Então:
barx = sumi=1^10 xi10 = 46,110 = 4,61

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a variância amostral ( s^2). A variância mede o quanto as medições estão espalhadas em relação à média. A fórmula para a variância amostral é:
s^2 = sumi=1^10 xi^2 - (sumi=1^10 xi)^21010 - 1
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, calculamos sum xi^2:
sum xi^2 = 220,81
Depois, calculamos (sum xi)^210:
(46,1)^210 = 2125,2110 = 212,521
Agora, substituímos na fórmula da variância:
s^2 = 220,81 - 212,5219 = 8,2899 approx 0,9209

Passo 4

Com a média amostral e a variância calculadas, vamos determinar o intervalo de confiança para mu com 95% de confiança. Como a amostra é pequena (n=10) e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t de Student.
A fórmula do intervalo de confiança é:
barx pm talpha2, n-1 times sraizn
Aqui, alpha = 0,05 para um intervalo de 95%, e n-1 = 9 graus de liberdade. Vamos encontrar o valor crítico t0,025, 9 na tabela t, que é aproximadamente 2,262.
Agora, calculamos o erro padrão:
sraizn = raiz0,9209raiz10 approx 0,9593,162 approx 0,303
Então, o intervalo de confiança fica:
4,61 pm 2,262 times 0,303 Rightarrow 4,61 pm 0,686
Ou seja:
(3,924; 5,296)

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de confiança para a variância sigma^2 com 99% de confiança. Para isso, usamos a distribuição qui-quadrado ( chi^2).
A fórmula do intervalo de confiança é:
( (n-1)s^2chi^2alpha2, n-1, (n-1)s^2chi^21-alpha2, n-1 )
Aqui, alpha = 0,01 para um intervalo de 99%, e novamente n-1 = 9 graus de liberdade. Procurando na tabela qui-quadrado:
  • chi^20,005,9 approx 2,700
  • chi^20,995,9 approx 23,589
Agora, calculamos os limites:
9 times 0,920923,589 approx 8,288123,589 approx 0,351
9 times 0,92092,700 approx 8,28812,700 approx 3,070
Então, o intervalo de confiança para sigma^2 é:
(0,351; 3,070)

Resposta

Intervalo de confiança para mu com 95% de confiança: (3,924; 5,296).
Intervalo de confiança para sigma^2 com 99% de confiança: (0,351; 3,070).

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