Num processo eleitoral, um candidato obteve 42 % dos votos. Determine a probabilidade de, num centro eleitoral, ter havido uma maioria absoluta de votos a favor desse candidato, sabendo que o número de votantes foi: (a) 300 (b) 800 © comente a diferencia obtida nos dois itens acima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma situação de processo eleitoral onde um candidato recebeu 42% dos votos. A pergunta é: qual a probabilidade de, num centro eleitoral com um certo número de votantes, esse candidato ter uma maioria absoluta dos votos? Vamos precisar usar conceitos de probabilidade binomial e, como os números de votantes são grandes (300 e 800), vamos aplicar a aproximação normal para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma maioria absoluta. Isso quer dizer que o candidato precisa ter mais de 50% dos votos. Como cada voto é independente, podemos modelar isso com uma distribuição binomial, onde cada voto tem uma probabilidade $ p = 0,42 $ de ser a favor do candidato.

Passo 3

Mas, como o número de votantes é grande (300 e 800), calcular diretamente usando a distribuição binomial pode ser complicado. Por isso, vamos usar a aproximação normal, que facilita bastante nesse caso. A ideia é que, para grandes $ n $, a distribuição binomial se aproxima de uma distribuição normal com média $ \mu = n \cdot p $ e variância $ \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) $.

Passo 4

Vamos calcular a média ($ \mu mu ã \sigma $) para cada caso:
(a) Para 300 votantes:
sigma
mu = 300 times 0,42 = 126
(b) Para 800 votantes:
sigma = raiz300 times 0,42 times 0,58 approx raiz73,08 approx 8,55
mu = 800 times 0,42 = 336

Passo 5

Agora, queremos saber a probabilidade de o candidato ter mais de 50% dos votos. Isso significa:
(a) Para 300 votantes:
Maioria absoluta > 150 votos
(b) Para 800 votantes:
Maioria absoluta > 400 votos

Passo 6

Vamos padronizar esses valores usando a fórmula do escore z:
z = X - musigma
(a) Para 300 votantes:
z = 150 - 1268,55 approx 248,55 approx 2,81
(b) Para 800 votantes:
z = 400 - 33613,99 approx 6413,99 approx 4,57

Passo 7

Agora, vamos usar uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente a esses valores de $ z $:
(a) Para $ z = 2,81 $:
A probabilidade de $ z $ ser menor que 2,81 é aproximadamente 0,9975. Como queremos a probabilidade de ser maior, subtraímos de 1:
z
(b) Para $ z = 4,57 $:
A probabilidade de $ z $ ser menor que 4,57 é praticamente 1 (mais precisamente, cerca de 0,999997). Então:
z = 2,81

Passo 8

Então, resumindo:
(a) Para 300 votantes, a probabilidade de o candidato ter maioria absoluta é aproximadamente 0,25%.
(b) Para 800 votantes, essa probabilidade cai para cerca de 0,0003%.

Passo 9

Comentário sobre a diferença:
Percebeu como a probabilidade diminui bastante quando aumentamos o número de votantes? Isso acontece porque, com mais pessoas votando, a variação relativa diminui, tornando menos provável que o candidato, que recebeu apenas 42% dos votos em média, consiga uma maioria absoluta. Ou seja, quanto maior o número de votantes, mais difícil é para o candidato ter uma maioria além do esperado pela sua porcentagem média.

Resposta

(a) A probabilidade é aproximadamente 0,25%.
(b) A probabilidade é aproximadamente 0,0003%.

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